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Aufgabe 3
(8 Punkte)
Beweisen Sie die folgenden Aussagen jeweils mit einem direkten Beweis:
(a) Für alle \( n, m \in \mathbb{N} \) gilt: Wenn \( n \) und \( m \) gerade sind, so ist auch \( n+m \) gerade.
(b) Für alle \( n, m \in \mathbb{N} \) gilt: Wenn \( n \) und \( m \) ungerade sind, so ist \( n+m \) gerade.
Hinweis: Überlegen Sie sich, auf welche Weise man gerade bzw. ungerade Zahlen immer darstellen kann.
Meine Lösung:
Um die beiden Aussagen zu beweisen, verwendet man die Definitionen von geraden und ungeraden Zahlen:
- Eine gerade Zahl kann immer dargestellt werden als \( 2k \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist.
- Eine ungerade Zahl kann immer dargestellt werden als \( 2k + 1 \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist.
1. Für alle \( n, m \in \mathbb{N} \) gilt: Wenn \( n \) und \( m \) gerade sind, so ist auch \( n + m \) gerade.
Direkter Beweis:
Seien \( n = 2a \) und \( m = 2b \) für \( a, b \in \mathbb{Z} \). Dann ist \( n + m = 2a + 2b = 2(a + b) \). Da \( a + b \) eine ganze Zahl ist, ist \( n + m \) auch durch 2 teilbar, daher ist \( n + m \) gerade.
2. Für alle \( n, m \in \mathbb{N} \) gilt: Wenn \( n \) und \( m \) ungerade sind, so ist \( n + m \) gerade.
Direkter Beweis:
Seien \( n = 2a + 1 \) und \( m = 2b + 1 \) für \( a, b \in \mathbb{Z} \). Dann ist \( n + m = (2a + 1) + (2b + 1) = 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1) \). Da \( a + b + 1 \) eine ganze Zahl ist, ist \( n + m \) auch durch 2 teilbar, daher ist \( n + m \) gerade.
Ist das so richtig und wenn nicht, könnte mir eventuell jemand helfen?
Bin für jede Antwort dankbar!
