Aloha :)
Willkommen in der Mathelounge... \o/
Wir formen zuerst die Behauptung ein wenig um:
$$\prod\limits_{i=2}^n\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=1}^n\left(\frac{i^2}{i^2}-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=1}^n\frac{i^2-1}{i^2}=\prod\limits_{i=1}^n\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}\stackrel!=\frac{n+1}{2n}$$
Induktions-Verankerung bei \(n=2\):
$$\prod\limits_{i=2}^n\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=2}^2\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=\frac{2+1}{2\cdot2}=\frac{n+1}{2n}\quad\checkmark$$
Induktionsschritt \(n\to n+1\):
$$\prod\limits_{i=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{i^2}\right)=\prod\limits_{i=1}^{n+1}\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}=\frac{((n+1)+1)((n+1)-1)}{(n+1)^2}\prod\limits_{i=1}^{n}\frac{(i+1)(i-1)}{i^2}$$Im Bruch vor der Produkt-Formel fassen wir den Zähler zusammen. Die Produkt-Formel ersetzen wir durch die Induktionsvoraussetzung:$$\phantom{\prod\limits_{i=2}^{n+1}\left(1-\frac{1}{i^2}\right)}=\frac{(n+2)n}{(n+1)^2}\cdot\frac{(n+1)}{2n}=\frac{n+2}{2(n+1)}=\frac{(n+1)+1}{2(n+1)}\quad\checkmark$$
