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Aufgabe 9-7 Die Fibonacci Zahlen \( F(n)=F(n-1)+F(n-2) \) für \( n \geqslant 2 \) und \( F(n):=n \) für \( n=0 \) und \( n=1 \) lassen sich auch explizit darstellen als
$$ T(n):=\left[\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n}-\frac{1}{\sqrt{5}} \cdot\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n}\right] $$
Dass der Term \( T(n) \) tatsächlich gleich \( F(n) \) von oben ist, scheint aus der Form heraus überraschend, da in \( T(n) \) ja Wurzeln und Brüche auftauchen.
Zeigen Sie direkt, also ohne dem Wissen von \( T(n)=F(n) \), dass \( T(n) \) für natürliche \( n \) zumindest rational ist.
