Direkter Beweis für Teilbarkeit

Question

ich soll die folgende Aufgabe direkt beweisen:

Seien a,b Element der Natürlichen Zahlen außer 0 mit ggT(a,b) =1. Dann folgt aus a|n und b|n, dass auch ab|n für n Element der Natürlichen Zahlen.

Dazu habe ich mir überlegt, wenn a und b teilerfremd sind, n aber beide Zahlen teilt, muss n dann nicht immer 1 sein?
Wenn das stimmt, was ich auch nicht so Recht was ich beweisen soll, da 1 schließlich jede natürliche Zahl teilt. Ich hoffe mir kann da jemand helfen oder mich über meinen Denkfehler aufklären.

Gruß

Atomzahn

Answer 1

Dazu habe ich mir überlegt, wenn a und b teilerfremd sind, n aber beide Zahlen teilt, muss n dann nicht immer 1 sein?

Es heißt nicht  n aber beide Zahlen teilt,

sondern   n ist durch beide Zahlen teilbar !

Vielleicht so:

Seien a,b Element der Natürlichen Zahlen außer 0 mit ggT(a,b) =1.

Dann folgt aus a|n und b|n :  Alle Primfaktoren von

a sind in n mindestens genauso oft enthalten wie in a und

Alle Primfaktoren von b sind in n mindestens genauso oft enthalten wie in b.

Da wegen ggT=1        a und b keine gemeinsamen Primfaktoren haben,

sind die Primfaktoren von a*b  eben auch alle mindestens genauso oft in n

enthalten wie in a*b,   also    a*b | n.

dass auch ab|n für n Element der Natürlichen Zahlen.