Ist diese Ableitung der Lagrange Funktion richtig?

Question

Aufgabe:

Ist diese Ableitung der Lagrange Funktion richtig? Bin mir nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe, komme nicht auf die Lösung von x1, x2 und λ, kann aber auch sein das ich es falsch löse. Könnte da jemand bitte drüber schauen, danke für jede Hilfe

Lagrange Funktion

Text erkannt:

\( \mathcal{L}\left(x_{1}, x_{2}, \lambda\right)=\left(\sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}}\right)^{4}-4 x_{1} \lambda+1.5 x_{2} \lambda+130 \lambda \)

x1

Text erkannt:

\( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{1}}=4 \cdot\left(\sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}}\right)^{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot x_{1}^{-3 / 4}-4 \lambda \)

x2

Text erkannt:

\( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_{2}}=4 \cdot\left(\sqrt[4]{x_{1}}+\sqrt[4]{x_{2}}\right)^{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot x_{2}^{-3 / 4}-1.5 \lambda \)

 λ

Text erkannt:

\( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}=-4 x_{1}+1.5 x_{2}+130 \)

Answer 1

Sieht gut aus. Außer ein kleiner Vorzeichenfehler bei der Ableitung nach \( x_2 \).

Answer 2

In der Ableitung nach \(x_2\) sollte \(...+1.5\lambda\) stehen (nicht: \(...-1.5\lambda\)).

Comments

Dankeschön für den kleinen Hinweis, meine weitere angehensweise wäre x1' und x2' nach x1 gleichzusetzen und das Ergebnis in die Nebenbedingung einzusetzen, so würde ich dann x2 bekommen aber ich kriege nur falsche Ergebnisse :/

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Es empfiehlt sich bei diesen Gleichungen die Ähnlichkeit auszunutzen:

Multipliziere \(\frac{\partial \cal L}{\partial x_1}=0 \) mit \(x_2^{-\frac34}\).

Ebenso: Multipliziere \(\frac{\partial \cal L}{\partial x_2}=0 \) mit \(x_1^{-\frac34}\).

Subtrahiere beide Gleichungen voneinander. Nach Faktorisieren erhält man einen Zusammenhang von \(x_1\) und \(x_2\), der dann eingesetzt in die NB (die man nicht durch Ableiten erhält - das ist ja nur eine Fehlerquelle! - sondern durch Abschreiben der NB aus der Aufgabe) die Bestimmung von \(x_1\) und \(x_2\) erlaubt.

Mach Dir das Prinzip klar, das funktioniert meistens bei solchen Gleichungen.

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Ich komme dabei auf (ohne Gewähr): \(x_2=\frac{16}{\sqrt[3]{81}}x_1\).