Komplexe Gleichung lösen, den z Teil bestimmen

Question

Aufgabe:

komplexe gleichung lösen

Text erkannt:

3. Lösen Sie die komplexen Gleichungen (8 Punkte)
(a) \( (1+i) z^{2}+(6+2 i) z+6-2 i=0 \)
(b) \( i z^{2}-(1+2 i) z+1+\frac{3}{4} i=0 \)
(c) \( z^{2}+i z-\frac{\sqrt{3}}{4} i=0 \)
(d) \( 3 z^{2}+(3+3 i) z+75 i=0 \)
(a) \( (1+i) z^{2}+(6+2 i) z+6-2 i=0 \)
\( z_{1}= \)

Problem/Ansatz:

ich bin sehr verwirrt wie ich mein z1 ubd z2 angeben soll und komme einfach nicht weiter

Answer 1

\( (1+i) z^{2}+(6+2 i) z+6-2 i=0 |:(1+i)\)

\(  z^{2}+\frac{6+2 i}{1+i} z=\frac{2i-6}{1+i}=\frac{(2i-6)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{8i-4}{2}\)

\(  z^{2}+\frac{6+2 i}{1+i} z+(\frac{3+i}{1+i})^{2}=4i-2+(\frac{3+i}{1+i})^{2}\)

\(  (z+\frac{3+i}{1+i})^{2}=4i-2+(\frac{3+i}{1+i})^{2}\)

Einschub:

\(  \frac{3+i}{1+i}= \frac{(3+i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}=2-i\)

\(  [z+(2-i)]^{2}=4i-2+(2-i)^{2}=1  |  ±\sqrt{~~}\)

1.)

\(  z+(2-i)=1  \)

\(  z_1=-1+i \)

2.)

\(  z+(2-i)=-1  \)

\(  z_2=-3+i \)

Comments

Vielen Dank! würde man bei den anderen identisch vorgehen oder gibt es änderungen?

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Ich schlage mal identisches Vorgehen vor. Bei Problemen melde dich bitte wieder.

Answer 2

Das sind alles quadratische Gleichungen in \(z\). Dafür gibt es Lösungsmethoden. Neben der quadratischen Ergänzung von Moliets lassen sich die Gleichungen auch mit der pq-Formel lösen.

Comments

ich hatte es sogar mit der pq formel versucht gehabt, aber ich bin durcheinander gekommen, da ich nicht genau wusste welcher teil nun p und welcher q ist. wären sie so nett es mithilfe der aufgabe zu veranschaulichen?

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Das \(p\) ist immer alles, was vor \(z\) steht (mit Vorzeichen) und \(q\) ist dann alles, wo kein \(z\) oder \(z^2\) steht. Für die erste Gleichung ist \(p=\frac{6+2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\) und \(q=\frac{6-2\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}\). Beachte, dass für die Anwendung der pq-Formel zunächst durch den Koeffizienten vor \(z^2\) dividiert werden muss.

Es kann hilfreich sein, \(p\) und \(q\) dann erstmal zu vereinfachen, bevor man die pq-Formel benutzt.

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vielen Dank, ich werde mich gleich daran versuchen!

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Viel Erfolg und vor allem Konzentration. ;)