Ungleichung lösen, Problem

Question

Ich würde gerne die Ungleichung $$\frac{(x^2+y^2)}{(x*y)} \leq 2  $$ lösen (x,y>0).

Mein Ansatz wären Fallunterscheidungen. Für x=y ist die Ungleichung ja sofort klar. Allerdings komme ich in den Fällen x>y und analog dazu y>x nicht weiter

Answer 1

Bei Bruch(un)gleichungen stets mit dem Nenner multiplizieren. Wg \(x,y>0\) geht das sogar ohne Fallunterscheidung. Danach an binomische Formel denken.

Answer 2

Es könnte sinnvoll sein, die Fälle $$(1)\quad x\cdot y>0$$ und $$(2)\quad x\cdot y<0$$zu unterscheiden.

Comments

Wegen \( x, y >0 \) erübrigt sich das.

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Wegen \( x, y >0 \) erübrigt sich das.

Das ist richtig.
Ich hatte den Zusatz überlesen und nur die möglichen Fallunterscheidungen im Sinn. :-)

Answer 3

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Quadratzahlen sind stets größer oder gleich Null. Daher gilt:$$(x-y)^2\ge0\implies x^2-2xy+y^2\ge0\implies \pink{x^2+y^2\ge2xy}$$Diese Ungleichung gilt für alle \(x;y\in\mathbb R\).

Insbesondere gilt das Gleichheitszeichen genau dann, wenn \(x=y\) ist.

1. Fall: \(xy>0\)

Wenn nun das Produkt \(xy>0\) ist, bleibt bei der Division beider Seiten der pinken Ungleichung durch \(xy\) das Relationsgleichen erhalten:$$\frac{x^2+y^2}{xy}\ge2$$Da nur für den Sonderfall \(x=y\) das Gleichheitszeichen gilt, finden wir hier nur Lösungen der Ungleichung mit \(x=y\).

2. Fall: \(xy<0\)

Hier dreht sich bei der Division beider Seiten der pinken Gleichung durch \(xy\) das Relationszeichen um:$$\frac{x^2+y^2}{xy}\le2$$Die Ungleichung ist also immer erfüllt, wenn \(xy<0\) ist.

Wir haben daher folgende Lösungen der Ungleichungen:

$$L=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|\,x=y\;\lor\;xy<0\}$$

Comments

Es wurde bereits vor einer Stunde thematisiert, dass man die gegebene Voraussetzung x,y>0 nicht überlesen sollte.

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Deine vorgerechnete Lösung wäre viel kürzer ausgefallen, wenn Du die Aufgabe richtig gelesen hättest oder eine der beiden anderen Antworten. Und dann hättest Du sie vielleicht auch dem FS zugetraut...