Hallo user18697,
Du schriebst:
Weiß nicht wie man auf die Fallunterscheidungen x < -3
-3 ≤ x < 3 kommt
Dachte es wäre einmal x ≥3 und x < -3
In der Ungleichung kommt genau ein Term mit der Betragsfunktion vor. Das ist der Nenner im ersten Bruch. Und genau dort muss man eine Fallunterscheidung machen, da mit dem Nulldurchgang des Arguments \((x-3)\) ein 'Vorzeichenwechsel' statt findet.
D.h. es sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1.) \(x-3 \lt 0\) und 2.) \(x-3\gt 0\).
Der Fall \(x-3=0\) kann von vornherein ausgeschlossen werden, da der Term im Nenner steht. \(x=3\) gehört somit nicht zum Definitionsbereich der Ungleichung.
x ≥3: 2x/(x-3)(x+3) ≥ 6
2x ≤ 6(x2 -9)
2x ≤ 6x2 - 54
6x2 -2x -54≥ 0
x2 - 1/3 x -9 ≥ 0
x1 ≥ 3,194 V x2 ≤ -2,861
In der zweiten Zeile hast Du das \(\ge\) umgedreht!? Das ist verkehrt. \((x^2-9)\) ist für \(x\gt3\) immer positiv. So bleibt das \(\ge\) erhalten.
Daher ist das Ergebnis der letzten Zeile auch falsch. Und der Zahlenwert passt auch nicht. Bei den Ungleichungen ist es besser, mit der quadratischen Ergänzung zu arbeiten, als mit der pq-Formel. Also:$$\text{Fall 1:}\space 3 \lt x\\\begin{aligned} \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}&\ge6 &&|\, \cdot(x-3)(x+3)\\ x+3+x-3 &\ge 6(x^2-9)\\ 2x &\ge 6(x^2-9) &&|\,\div 6,\space -\frac13x\\ 0 &\ge x^2-\frac13x - 9\\ 0 &\ge x^2-\frac13x+ \left(\frac16\right)^2-\left(\frac16\right)^2 - 9\\ \frac{325}{6^2} &\ge \left(x-\frac16\right)^2 &&|\,\sqrt{},\space x\gt3\\ \frac16\sqrt{325} &\ge x - \frac 16&&|\,+\frac16\\ \underbrace{\frac16\left(\sqrt{325}+1\right)}_{\approx 3,17} &\ge x\\ \end{aligned}$$Beim Wurzelziehen (dritte Zeile von unten) kann man berücksichtigen, dass \(x\gt 3\) ist. Damit entfällt der Fall \((x-1/6) \lt 0\)
Zusammen mit der Fallunterscheidung \(x\gt3\) ergibt sich als erste Lösungsmenge$$\mathbb L = \left\{x \in \mathbb R|\space 3 \lt x \le \frac16\left(\sqrt{325}+1\right)\right\}$$
x < 3
1/-(x-3) + 1/(x+3) ≥ 6
1/(-x+3) + 1/(x+3) ≥ 6
( 1(x+3) + 1(-x+3) )/(-x+3)(x+3) ≥ 6
6/(-x+3)(x+3) ≥ 6
6 ≤ 6(-x+3)(x+3)
6 ≤ 6(-x2 + 9)
1 ≤ -x2 +9
-8≤ -x2
x2 ≤ 8
Zunächst ein Hinweis: Setzen bitte Klammern richtig. Es ist \(6/(-x+3)(x+3) \ne 6/((-x+3)(x+3))\) der zweite Ausdruck wäre korrekt.
Bei der Multiplikation der Ungleichung mit dem Term \((-x+3)(x+3)\) ist zu berücksichtigen, dass dieser Faktor negativ sein kann. Das ist erst der Fall wenn \({x \lt-3}\lor 3 \lt x\) ist. Zusammen mit der Fallunterscheidung \(x\lt 3\) brauchst Du für den Bereich \(-3\lt x\lt3\) das Ungleichzeichen nicht(!) drehen - so wie in der 6. Zeile.
Am Ende stände dann also \(x^2 \ge 8\) und somit \({x\le-\sqrt8} \lor {\sqrt8\le x}\). Was aber nur für \(-3\lt x\) gilt (s.o.).
Tipp: mache Dir zur Probe immer eine Skizze der Funktion. Tools gibt es ja dafür reichlich. Hier in Desmos:
Der blaue Graph zeigt die Funktion von \(x\) auf der linken Seite der Ungleichung und die roten Bereiche markieren den Ort wo der Graph oberhalb von \(6\) liegt (die grüne Horizontale) - also die Lösungsmenge.
Gruß Werner