Betrag/-bruchsungleichung lösen

Question

Aufgabe:

$$\frac{1}{|x-3|}+\frac{1}{x+3 } \geq 6$$

Könnt ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen.

Problem/Mein Ansatz:

$$x-3\geq 0$$
$$x\geq 3$$

$$(x+3) + (x-3) \geq 6(x+3)(x-3)$$

2x≥ 6(x^2 - 9)

2x ≥ 6x^2 - 54

0 ≥ 6x^2 - 2x - 54

x^2 - 1/3 x - 9 ≤ 0        x^2 - 1/3 x - 9 = 0 =>  x1 = 18,1966 V x2=  -17,8633

L1 = {x≥18,1966}

x-3<0    x<3

$$\frac{1}{-(x-3)}+\frac{1}{x+3 } \geq 6$$

$$\frac{1}{-x+3)}+\frac{1}{x+3 } \geq 6$$

x+3-x+3 ≥ 6 (-x+3)(x+3)

6 ≥ 6(-x^2 +9)

6 ≥ -6x^2 + 54

6 ≥ -6x^2 + 48

x^2 - 8 ≥ 0

Comments

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F%7Cx-3%7C%2B1%2F%28x%2B3%29+%3E%3D6

Answer 1

x² - 1/3 x - 9 = 0

Bis dahin richtig

=>  x1 = 18,1966 V x2=  -17,8633

Das sind nicht die Lösungen der obigen Gleichung.

L1 = {x≥18,1966}

Das ist nicht die korrekte Schlussfolgerung aus deinen Lösungen.

Die korrekte Schlussfolgerung aus deinen Lösungen lautet:

1. Die Parabel x² - 1/3 x - 9 ist nach oben geöffnet.
2. Die Ungleichung x² - 1/3 x - 9 ≤ 0 gilt deshalb zwischen den beiden Nullstellen.
3. Also muss x₂ ≤ x ≤ x₁ sein.
4. Die Ungleichung x² - 1/3 x - 9 ≤ 0 wurde unter der Voraussetzung x ≥ 3 aufgestellt.
   
5. Wegen x₂ < 3 muss deshalb 3 ≤ x ≤ x₁ sein.
   

Lösungsmenge ist deshalb das Intervall [3, x₁].

x+3-x+3 ≥ 6 (-x+3)(x+3)

Um diese Gleichung zu bekommen, hast du mit x+3 multipliziert.

Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst, dann musst du das Ungleichheitszeichen umdrehen.

x+3 ist negativ, wenn x < -3 ist.

Du musst hier also wieder eine Fallunterscheidung machen.

1. x < -3
2. -3 ≤ x < 3

x² - 8 ≥ 0

Abgesehen von der fehlenden Fallunterscheidung ist das richtig. Du hättest diese Ungleichung aber auf einfachrem Weg bekommen können indem du die Ungleichung 6 ≥ 6(-x² +9) durch 6 teilst.

Übrigens:

L1 = {x≥18,1966}

Die Notation ist grauenhaft.

Beschreibende Notation für Mengen:

        M = {x ∈ N | φ }

gelesen

        M ist die Menge aller x aus der Menge N, die die Eigenschaft φ haben.

In deinem Fall

        L1 ist die Menge aller x aus den reellen Zahlen, die die Ungleichung x≥18,1966 erfüllen.

Answer 2

Hallo user18697,

Du schriebst:

Weiß nicht wie man auf die Fallunterscheidungen x < -3
-3 ≤ x < 3 kommt
Dachte es wäre einmal x ≥3 und x < -3

In der Ungleichung kommt genau ein Term mit der Betragsfunktion vor. Das ist der Nenner im ersten Bruch. Und genau dort muss man eine Fallunterscheidung machen, da mit dem Nulldurchgang des Arguments \((x-3)\) ein 'Vorzeichenwechsel' statt findet.

D.h. es sind zwei Fälle zu unterscheiden: 1.) \(x-3 \lt 0\) und 2.) \(x-3\gt 0\).

Der Fall \(x-3=0\) kann von vornherein ausgeschlossen werden, da der Term im Nenner steht. \(x=3\) gehört somit nicht zum Definitionsbereich der Ungleichung.

x ≥3: 2x/(x-3)(x+3) ≥ 6 
2x ≤ 6(x² -9)
2x ≤ 6x² - 54
6x² -2x -54≥ 0
x² - 1/3 x -9 ≥ 0
x1 ≥ 3,194 V x2 ≤ -2,861

In der zweiten Zeile hast Du das \(\ge\) umgedreht!? Das ist verkehrt. \((x^2-9)\) ist für \(x\gt3\) immer positiv. So bleibt das \(\ge\) erhalten.

Daher ist das Ergebnis der letzten Zeile auch falsch. Und der Zahlenwert passt auch nicht. Bei den Ungleichungen ist es besser, mit der quadratischen Ergänzung zu arbeiten, als mit der pq-Formel. Also:$$\text{Fall 1:}\space 3 \lt x\\\begin{aligned} \frac{1}{x-3}+\frac{1}{x+3}&\ge6 &&|\, \cdot(x-3)(x+3)\\ x+3+x-3 &\ge 6(x^2-9)\\ 2x &\ge 6(x^2-9) &&|\,\div 6,\space -\frac13x\\ 0 &\ge x^2-\frac13x - 9\\ 0 &\ge x^2-\frac13x+ \left(\frac16\right)^2-\left(\frac16\right)^2 - 9\\ \frac{325}{6^2} &\ge \left(x-\frac16\right)^2 &&|\,\sqrt{},\space x\gt3\\ \frac16\sqrt{325} &\ge x - \frac 16&&|\,+\frac16\\ \underbrace{\frac16\left(\sqrt{325}+1\right)}_{\approx 3,17} &\ge x\\ \end{aligned}$$Beim Wurzelziehen (dritte Zeile von unten) kann man berücksichtigen, dass \(x\gt 3\) ist. Damit entfällt der Fall \((x-1/6) \lt 0\)

Zusammen mit der Fallunterscheidung \(x\gt3\) ergibt sich als erste Lösungsmenge$$\mathbb L = \left\{x \in \mathbb R|\space 3 \lt x \le \frac16\left(\sqrt{325}+1\right)\right\}$$

x < 3
1/-(x-3)  + 1/(x+3) ≥ 6
1/(-x+3) +  1/(x+3) ≥ 6
( 1(x+3) + 1(-x+3) )/(-x+3)(x+3) ≥ 6
6/(-x+3)(x+3) ≥ 6
6 ≤ 6(-x+3)(x+3)
6 ≤  6(-x² + 9)
1 ≤ -x² +9
-8≤ -x²
x² ≤ 8

Zunächst ein Hinweis: Setzen bitte Klammern richtig. Es ist \(6/(-x+3)(x+3) \ne 6/((-x+3)(x+3))\) der zweite Ausdruck wäre korrekt.

Bei der Multiplikation der Ungleichung mit dem Term \((-x+3)(x+3)\) ist zu berücksichtigen, dass dieser Faktor negativ sein kann. Das ist erst der Fall wenn \({x \lt-3}\lor 3 \lt x\) ist. Zusammen mit der Fallunterscheidung \(x\lt 3\) brauchst Du für den Bereich \(-3\lt x\lt3\) das Ungleichzeichen nicht(!) drehen - so wie in der 6. Zeile.

Am Ende stände dann also \(x^2 \ge 8\) und somit \({x\le-\sqrt8} \lor {\sqrt8\le x}\). Was aber nur für \(-3\lt x\) gilt (s.o.).

Tipp: mache Dir zur Probe immer eine Skizze der Funktion. Tools gibt es ja dafür reichlich. Hier in Desmos:

https://www.desmos.com/calculator/edx4vpxdlv

Der blaue Graph zeigt die Funktion von \(x\) auf der linken Seite der Ungleichung und die roten Bereiche markieren den Ort wo der Graph oberhalb von \(6\) liegt (die grüne Horizontale) - also die Lösungsmenge.

Gruß Werner

Comments

Vielen Dank :)

Zunächst ein Hinweis: Setzen bitte Klammern richtig. Es ist \(6/(-x+3)(x+3) \ne 6/((-x+3)(x+3))\) der zweite Ausdruck wäre korrekt.Bei der Multiplikation der Ungleichung mit dem Term \((-x+3)(x+3)\) ist zu berücksichtigen, dass dieser Faktor negativ sein kann. Das ist erst der Fall wenn \({x \lt-3}\lor 3 \lt x\) ist. Zusammen mit der Fallunterscheidung \(x\lt 3\) brauchst Du für den Bereich \(-3\lt x\lt3\) das Ungleichzeichen nicht(!) drehen - so wie in der 6. Zeile.Am Ende stände dann also \(x^2 \ge 8\) und somit \({x\le-\sqrt8} \lor {\sqrt8\le x}\). Was aber nur für \(-3\lt x\) gilt (s.o.).

Aber mir ist immer noch nicht ganz klar, warum man das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen muss, denn bei einem negativen Wert muss man das normalerweise doch.

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Aber mir ist immer noch nicht ganz klar, warum man das Ungleichheitszeichen nicht umdrehen muss, ...

Man muss es genau dann umdrehen, wenn der Faktor negativ ist. Bei der Multiplikation mit \((-x+3)(x+3) = 9-x^2\) ist dieser Term genau dann negativ wenn \(x^2 \gt 9\). Dann dreht man es um und das Ergebnis (Dein Ergebnis) ist$$x^2 \gt 9 \implies x^2 \le 8$$Nun kann aber ein \(x^2\) nicht gleichzeitig \(\gt 9\) und \(\le 8\) sein. D.h. es gibt keinen \(x\)-Wert in diesem Bereich, der die Ungleichung erfüllt.

Nimmt man dagegen an, dass \(x^2 \lt 9\) ist, so wird das Ungleichzeichen nicht(!) umgedreht und die Lösung ist$$x^2 \lt 9 \implies x^2 \ge 8$$diese Kombination ist möglich und führt zu zwei weiteren Intervallen von \(x\) in denen \(x\) die Ungleichung erfüllt:$$\mathbb L_2 = \left\{x \in \mathbb R|\space 8 \le x^2 \lt 9\right\}\\ \phantom{\mathbb L_2}=\left\{x \in \mathbb R|\space -3 \lt x \le \sqrt 8\space\lor\space\sqrt 8 \le x \lt 3\right\}$$Tipp: wenn Du nicht genau weißt, ob man das Ungleichzeichen umdreht oder nicht, so setzte einfach ein paar Zahlenwerte ein und überprüfe es. Für einen bestimmten Zahlenwert muss jede Ungleichung zur selben Aussagen führen.

Hier hilft auch der Graph der Funktion beider Seiten (s. meine Bemerkung oben)