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Aufgabe:

Sei g: ℝ→ℝ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl q, 0 < q < 1. Sei x0 ∈ ℝ und p > 0. Weiterhin gelte:
|g(x0)-x0| ≤ (1-q)p.

Zeigen Sie, dass g eine Selbstabbildung auf I = [x0 - p, x0 + p] ist.


Problem/Ansatz:

Ich muss zeigen, dass für alle x ∈ I auch g(x) ∈ I ist.

Es gilt (wegen Kontraktion):

|g(x) - g(y)| ≤ q · |x - y|

Wie komme ich hier weiter?

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1 Antwort

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Zu zeigen ist: \(|g(x)-x_0|\le p\). Schiebe eine nahrhafte \(0=g(x_0)-g(x_0)\) ein und verwende die Dreiecksungleichung.

Avatar von 9,8 k

Wenn x im Intervall liegt, dann wäre ja |g(x) - g(x0)| ≤ q · |x - x0| ≤ q·p.

Dann

|g(x) - x0| = |g(x) - g(x0)| + |g(x0) - x0| ≤ qp + (1-q)p = p

Ja, fast richtig. Du hast einen Schritt übersprungen, das Einfügen der 0 und die Dreiecksungl. - das erste = nach dem "Dann" stimmt daher nicht.

|g(x)-x0| = |g(x)-g(x0)+g(x0)-x0| ≤ |g(x) - g(x0)| + |g(x0) - x0|

So sollte es aussehen, ja.

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