Zeigen Sie, dass g eine Selbstabbildung auf I = [x0 - p, x0 + p] ist.

Question

Aufgabe:

Sei g: ℝ→ℝ eine Kontraktion mit Kontraktionszahl q, 0 < q < 1. Sei x₀ ∈ ℝ und p > 0. Weiterhin gelte:
|g(x₀)-x₀| ≤ (1-q)p.

Zeigen Sie, dass g eine Selbstabbildung auf I = [x₀ - p, x₀ + p] ist.

Problem/Ansatz:

Ich muss zeigen, dass für alle x ∈ I auch g(x) ∈ I ist.

Es gilt (wegen Kontraktion):

|g(x) - g(y)| ≤ q · |x - y|

Wie komme ich hier weiter?

Answer 1

Zu zeigen ist: \(|g(x)-x_0|\le p\). Schiebe eine nahrhafte \(0=g(x_0)-g(x_0)\) ein und verwende die Dreiecksungleichung.

Comments

Wenn x im Intervall liegt, dann wäre ja |g(x) - g(x₀)| ≤ q · |x - x₀| ≤ q·p.

Dann

|g(x) - x₀| = |g(x) - g(x₀)| + |g(x₀) - x₀| ≤ qp + (1-q)p = p

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Ja, fast richtig. Du hast einen Schritt übersprungen, das Einfügen der 0 und die Dreiecksungl. - das erste = nach dem "Dann" stimmt daher nicht.

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|g(x)-x0| = |g(x)-g(x₀)+g(x₀)-x₀| ≤ |g(x) - g(x₀)| + |g(x₀) - x₀|

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So sollte es aussehen, ja.