Selbstabbildung der komplexen Zahlen (ℂ)

Question

Gegeben sei die Abbildung f: ℂ → ℂ mit den Eigenschaften:

Eigenschaft 1) f(a) = a für alle a∈ℝ

Eigenschaft 2) f(a+b) = f(a) + f(b) und f(a*b) = f(a) * f(b)

Zu zeigen ist:

Aufgabe a)  f(i) ∈ {i,-i}

Aufgabe b) f = id_ℂ oder f ist durch f(a+ib) = a - ib (mit a,b ∈ ℝ) gegeben

Aufgabe a kann ich aufgrund von Eigenschaft 1 noch teilweise nachvollziehen, bei Aufgabe b blicke ich leider gar nicht durch. Ich bin sehr dankbar für Tipps oder Hilfestellungen, da ich die Aufgabe wirklich gerne verstehen möchte.

Answer 1

Zu a)

\(-1=f(-1)=f(i\cdot i)=f(i)\cdot f(i)=(f(i))^2\).

Die beiden einzigen Lösungen von \(-1=x^2\)

sind \(i\) und \(-i\).

Zu b)

\(f(a+bi)=f(a)+f(bi)=f(a)+f(b)f(i)=a+b(\pm i)\).

Comments

Vielen Dank!

a ist mir jetzt klarer.

Reicht das bei b als Begründung, dass f durch f(a+bi) gegeben ist? Oder muss da noch eine kurze Begründung dazu?

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Das reicht. Es ist ja bekannt, dass jede komplexe Zahl

in der Gestalt a+bi mit eindeutig bestimmten

reellen a,b geschrieben werden kann.

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Okay vielen Dank!! :)