Question

Aufgabe:Verständnisfrage wieso ist det((-1) *A) =  (-1)^n .det(A)  speziell die Frage wieso (-1)^n ?

Comments

Du hast sicher noch einen zweiten Exponenten n in der Aufgabe??

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Die Aufgabe ist beweisen Sie das für (R)Matrizen für die AB = -BA gilt A oder B nicht invertierbar ist

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Da musst du schon mal den kompletten vorgegebenen Lösungsweg posten.

det((-1) *A) =  (-1)^n .det(A) gilt selbstverständlich nicht für alle n.

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det(AB) = det (A) *det(B)

=det(B) * det (A) = det(BA)

det(−BA) = (−1)^n  det(BA).

Answer 1

Aloha :)

Bei der Berechnung einer Determinante kannst du aus einer beliebigen Reihe (=Zeile oder Spalte) einen Faktor vor die Determinante ziehen:

$$\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\c\cdot a_{21} & c\cdot a_{22} & c\cdot a_{23} & \cdots & c\cdot a_{1n}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|=c\cdot\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{1n}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

Wenn du nun alle Elemente einer \(n\times n\)-Matrix \(A\) zu \((-A)\) negierst, kannst du aus jeder der \(n\) Zeilen den Faktor \((-1)\) vor die Determinante ziehen und erhältst dann:$$\left|\begin{array}{c}-a_{11} & -a_{12} & -a_{13} & \cdots & -a_{1n}\\-a_{21} & -a_{22} & -a_{23} & \cdots & -a_{1n}\\-a_{31} & -a_{32} & -a_{33} & \cdots & -a_{3n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\-a_{n1} & -a_{n2} & -a_{n3} & \cdots & -a_{nn}\end{array}\right|=(-1)^n\cdot\left|\begin{array}{c}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n}\\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{1n}\\a_{31} & a_{32} & a_{33} & \cdots & a_{3n}\\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} & \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$$

Comments

Danke für deine Mühe, sehr anschaulich

Answer 2

Vermutlich ist A eine (reelle) nxn Matrix.

Dann gilt immer (siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Determinante#Eigenschaften_(Zusammenfassung,_s._unten)

Punkt 5 )     det( c *A) =  c^n * det(A) für alle c∈ℝ.

In deinem Fall c=-1.

Wenn man z.B. nur eine Zeile der Matrix mit c multipliziert,

gibt es bei der Determinante c*det(A). Bei n Zeilen also c^n .

Multilinearität !

Answer 3

Die Determinante ist eine Multilinearform ihrer Spalten:

\(\det(a_1\cdots, c\cdot a_i,\cdots, a_n)=c\cdot \det(a_1,\cdots, a_n)\) für \(c\in K\) und \(i=1,\cdots,n\).

Für die Matrix \(A=(a_1,\cdots,a_n)\) mit den Spaltenvektoren \(a_1,\cdots, a_n\)

gilt daher

\(\det(c\cdot A)=\det(ca_1,\cdots,ca_n)=c^n\det(A)\). Nimm nun \(c=-1\).