Beweisen Sie, dass det(A) = (a + n · b) · (a − b)n

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, a, b ∈ K, n ∈ N und
A :=
a b b . . . b
b a b . . . b
b b a . . . b
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
b b b . . . a
∈ Matn+1(K).
Beweisen Sie, dass det(A) = (a + n · b) · (a − b)^n

Problem/Ansatz:

Habs mal mit vollständiger Indunktion versucht verstehe aber einfach nicht den Hauptbeweis bzw. den Induktionsschluss.

Comments

Welche Definition der Determinante darf denn verwendet werden?

---

laplace darf verwendet werden (denke mal du meinst die oder?)

---

Darfst du verwenden, dass die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte (incl. Mehrfachheiten) der Matrix ist?

---

aha ja das geht darüber hab ich gar nicht nachgedacht

---

Die Aussage stimmt offenbar für \(b=0\). Sonst gilt:
(1)  Alle Zeilensummen sind gleich. Deshalb ist \(a+n{\cdot}b\) ein Eigenwert.
(2)  Es ist \(\operatorname{Rang}\big(A_{n+1}-(a-b)I_{n+1}\big)=1\). Deshalb ist \(a-b\) ein \(n\)-facher Eigenwert.
Weitere Eigenwerte kann es nicht geben und es ist \(\det(A_{n+1})=(a+n{\cdot}b)\cdot(a-b)^n\).

Answer 1

Mit Gaus k-te Zeile - n*j-Zeile verändert die Determinante nicht.

Man bekommt die Form:

A=

\( \begin{pmatrix} a-b &0 &\cdots & \cdots &b-a \\ 0 & a-b & 0& \cdots & b-a \\ \cdots & \cdots &\cdots & \cdots &\cdots \\ \cdots & \cdots &\cdots & \cdots &\cdots\\ b&b&b&b&a\end{pmatrix} \)

Mit Leibniz kommt man auf:

\( (a-b)^{n} \)·\(a+(-1)\)·\(b· (a-b)^{n-1} \)·\((b-a)\)+\(\dots\)+\((-1)·b·(a-b)^{n-1} \)·\((b-a)\)

also die Permutationen id, (1 n+1), (2 n+1), ....... , (n n+1). Das sign ist -1, da ein Fehlstand (außer bei der id).