Rekursionsformel für Determinanten beweisen: det(Bn) = 2 det(Bn−1) − det(Bn−2) für n > 2.

Question

Aufgabe

\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 & ..& 0 & 0 \\ -1 & 2 & -1 & 0  &..&  0 & 0\\ 0 & -1 & 2 & -1 & ..&..&..\\ 0 & 0 & -1 & 2 &  .. & .. & ..\\ .. & .. & .. & .. & .. & .. & 0 \\ 0 & .. & ..& ..& .. & 2 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 &..&-1 & 2\\\end{pmatrix} \)

Nun soll ich zeigen das det(Bn) = 2 det(Bn−1) − det(Bn−2) für n > 2. 

Ansatz.

Ich dachte ich könnte es mit der Rekursionsformel lösen aber ich weiß nicht wie ich das machen soll.

n ist die Zeilen- und Spaltenzahl der Matrix.

Comments

Vermutlich geht es mit vollständiger Induktion.

Vielleicht sollte man noch hinzufügen, das n die Zeilen- und Spaltenzahl ist.

Answer 1

Entwicklung nach der 1. Spalte gibt

Det(Bn)  =   2 * det (B_n-1)  + det (A)  wobei

A = -1  0   0   ..  0
     -1  **************
       0 **************
         .
       0 ****************

und die * bilden gerade B_n-2 .

Wenn du also A nach der 1. Zeile entwickelst und

oben einsetzt hast du deine Rek.formel.