Verständnis Basis und Dimension.

Question

Aufgabe:

Es sei V ein Vektorraum der endlichen Dimension n . Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch?

(1) Es gibt Erzeugendensysteme S 1 und S 2 für V , die unterschiedlich viele Elemente enthalten: | S 1 | ≠ | S 2 | .

[richtig] oder [falsch]

(2) Es gibt ein linear abhängiges Erzeugendensystem für V mit n Vektoren.

[richtig] oder [falsch]

(3) Jede Menge von n linear unabhängigen Vektoren aus V ist ein Erzeugendensystem für V .

[richtig] oder [falsch]

(4) Es gibt linear abhängige Erzeugendensysteme S für V mit n + 1 Vektoren derart, dass jede n -elementige Teilmenge von S eine Basis von V ist.

[richtig] oder [falsch]

Answer 1

Du musst dir nur ein paar Sachen merken:

Mit einem Erzeugendensystem kann man jeden Vektor eines Vektorraumes

als Linearkombination darstellen.  Also kann man das auch beliebig

vergrößern.

Am kleinsten ist so ein Erz.syst. wenn die beteiligten Vektoren lin.

unabhängig sind. (Heißt dann Basis). Die Anzahl der

Elemente ist dann die Dim.

Umgekehrt kann man jedes lin. unabhängige System zu einer Basis

vergrößern.

also 1 w      2 f      3 f

4 w  wähle z.B. in R^2  (1;0) (0;1) und (1;1) .

Comments

Nice danke, hat echt geholfen.