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Aufgabe:

Sei K ein Körper, a, b ∈ K, n ∈ N und
A :=
a b b . . . b
b a b . . . b
b b a . . . b
.
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b b b . . . a
∈ Matn+1(K).
Beweisen Sie, dass det(A) = (a + n · b) · (a − b)^n


Problem/Ansatz:

Habs mal mit vollständiger Indunktion versucht verstehe aber einfach nicht den Hauptbeweis bzw. den Induktionsschluss.

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Welche Definition der Determinante darf denn verwendet werden?

laplace darf verwendet werden (denke mal du meinst die oder?)

Darfst du verwenden, dass die Determinante gleich dem Produkt der Eigenwerte (incl. Mehrfachheiten) der Matrix ist?

aha ja das geht darüber hab ich gar nicht nachgedacht

Die Aussage stimmt offenbar für \(b=0\). Sonst gilt:
(1)  Alle Zeilensummen sind gleich. Deshalb ist \(a+n{\cdot}b\) ein Eigenwert.
(2)  Es ist \(\operatorname{Rang}\big(A_{n+1}-(a-b)I_{n+1}\big)=1\). Deshalb ist \(a-b\) ein \(n\)-facher Eigenwert.
Weitere Eigenwerte kann es nicht geben und es ist \(\det(A_{n+1})=(a+n{\cdot}b)\cdot(a-b)^n\).

1 Antwort

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Mit Gaus k-te Zeile - n*j-Zeile verändert die Determinante nicht.

Man bekommt die Form:

A=

\( \begin{pmatrix} a-b &0 &\cdots & \cdots &b-a \\ 0 & a-b & 0& \cdots & b-a \\ \cdots & \cdots &\cdots & \cdots &\cdots \\ \cdots & \cdots &\cdots & \cdots &\cdots\\ b&b&b&b&a\end{pmatrix} \)



Mit Leibniz kommt man auf:

\( (a-b)^{n} \)·\(a+(-1)\)·\(b· (a-b)^{n-1} \)·\((b-a)\)+\(\dots\)+\((-1)·b·(a-b)^{n-1} \)·\((b-a)\)

also die Permutationen id, (1 n+1), (2 n+1), ....... , (n n+1). Das sign ist -1, da ein Fehlstand (außer bei der id).

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