0 Daumen
601 Aufrufe

Aufgabe:

Berechnen Sie die vier komplexe Lösungen der biquadratsichen Gleichung

z4 - 2z2 + 2 = 0


Problem/Ansatz:

Ich hatte z4   mit x2 ersetzt und dann pq formel angewandt. Jedoch bekam ich ein mögliches ergebnis und ein nicht mögliches heraus, wo finde ich die anderen beiden lösungen,einfach mit - vor die beiden Lösungen?

Vielen Dank!

Avatar von
Jedoch bekam ich ein mögliches ergebnis und ein nicht mögliches heraus,

Wie lauten sie? Welches davon findest Du möglich und welches unmöglich? Wieso?

Okay da habe ich wohl gewaltig was falsch gemacht, meine Lösungen waren einfach mit der pq-Formel √(-1√2) und √(-1-√2)

Wie kommt der Rechner plötzlich auf sinus und cosinus?

Bin sehr verwirrt :(

1 Antwort

+1 Daumen
 
Beste Antwort

Aloha :)

$$z^4-2z^2+2=0\quad\big|-1$$$$z^4-2z^2+1=-1\quad\big|\text{2-te binomische Formel und \(i^2=-1\)}$$$$(z^2-1)^2=i^2\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$z^2-1=\pm i\quad\big|+1$$$$z^2=1\pm i\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$z=\pm\sqrt{1\pm i}$$

Mit \((1\pm i)=\sqrt2\,e^{\pm i \frac\pi4}\) bzw. \(\sqrt{1\pm i}=\sqrt[4]{2}e^{\pm i \frac\pi8}\) kannst du die 4 Lösungen auch in der folgenden Form schreiben:$$z=\pm\sqrt[4]2\cdot\left(\cos\frac\pi8\pi\pm\sin\frac\pi8\pi\right)$$

Avatar von 152 k 🚀

Vielen Dank das hilft sehr.

Nur verstehe ich leider noch nicht, wie man auf die untere Formel für z= kommt und auch nicht wie auf die zweite E-funktion, die erste bekomme ich bei der Umrechnung mit Radius und Phi ebenfalls raus, aber die zweite leider nicht, entschuldige bitte und wirklich vielen vielen Dank, das hilft sehr.

Wenn dir der Schirtt$$(1\pm i)=\sqrt{2}\cdot e^{\pm i\frac\pi4}$$klar ist, muss im nächsten Schritt die Wurzel gezogen werden:$$\sqrt{1\pm i}=(1\pm i)^{\frac12}=\left(\sqrt{2}\cdot e^{\pm i\frac\pi4}\right)^{\frac12}=\left(\sqrt2\right)^{\frac12}\cdot\left(e^{\pm i\frac\pi4}\right)^{\frac12}$$$$\phantom{\sqrt{1\pm i}}=\left(2^{\frac12}\right)^{\frac12}\cdot\left(e^{\pm i\frac\pi4}\right)^{\frac12}=2^{\frac14}\cdot e^{\pm i\frac{\pi}{8}}=\sqrt[4]2\cdot e^{\pm i\frac{\pi}{8}}$$

Mit der Euler-Formel \(e^{\pm ix}=\cos x\pm i\sin x\) folgt die Darstellung.

Perfekt vielen vielen Dank, jetzt kann ich es nachvollziehen.

Die Formel reicht oder muss ich noch explizit die Lösungen rausschreiben?

Du kannst die eine Formel angeben und  vielleicht noch dazu schreiben, dass es 4 Lösungen gibt, die durch Kombitation der \(\pm\) Zeichen entstehen.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community