reelle Lösung einer biquadratischen Gleichung (Nullstellen, die keine sind)

Question

folgende Gleichung:

2x⁴-6x²-8

Ich habe das durch die ersetzung von x² durch y gelöst und erhalte dann mit der pq-Formel:

1,5+/-2,5

Soweit so gut.

demnach habe ich y₁=4 und y₂=-1

und durch x=sqrt(y) erhalte ich x_1,2= +/-2 und x_3,4= +/-sqrt(1)= +/-1

aber 1 und -1 eingesetzt in das Polynom vom Anfang ergibt nicht 0?

Warum? Wolfram Alpha hat mir nicht weiterhelfen können.

Polynom 4. Grades hat doch 4 Nullstellen? (oder nur bis zu 4?) Was sind die anderen?

Comments

Wenn \(x \in \mathbb{C}\), dann ist auch das Ergebnis von \(2x^{4}-6x^{2}-8\) im Allgemeinen ein \(\in\mathbb{C}\). Man kann das graphisch über der Gaußschen Zahlenebene darstellen, wenn man sich beim Ergebnis auf dessen Betrag beschränkt.

Das sieht so aus:

(klick!)

Die Y-Achse steht für den Imaginärteil von \(x\). Die Nullstellen sind als grüne Punkte markiert. Die rote Fläche zeigt den Graphen von$$z=\left|2x^{4}-6x^{2}-8\right| \quad x \in \mathbb{C}, \space z \in \mathbb{R}$$ Die blaue Kurve zeigt$$f(x)= 2x^{4}-6x^{2}-8 \quad x \in \mathbb{R}$$

---

....................

Answer 1

Fast alles richtig gemacht.

demnach habe ich y₁=4 und y₂=-1

und durch x=sqrt(y) erhalte ich x_1,2= +/-2

und x_3,4= +/-sqrt(-1)  und die gibt es in IR nicht.

Also nur zwei Lösungen.

Comments

Ahhh na klar. Das erklärt das.

Answer 2

Hallo ,

Es gibt 2 reelle Nullstellen  :2 ind -2) und 2 komplexe Nullstellen ( i und -i) , siehe Rechnung

Answer 3

\(2x^4-6x^2-8=0\)

\(x^4-3x^2-4=0\)

Ohne Substitution:

\(x^4-3x^2=4\)

\(x^2-3x^2+(\frac{3}{2})^2=4+(\frac{3}{2})^2\)

\((x^2-\frac{3}{2})^2=6,25|±\sqrt{~~}\)

1.)

\(x^2-\frac{3}{2}=2,5\)                            

\(x^2=4 |±\sqrt{~~}\) 

\(x_1=2\)

\(x_2=-2\)

Diese beiden Lösungen sind ∈  ℝ

2.)

\(x^2-\frac{3}{2}=-2,5\) 

\(x^2=-1=i^2  |±\sqrt{~~}\)   

\(x_3=i\)

\(x_4=-i\)

Diese beiden Lösungen sind ∉  ℝ 

 

                     

Answer 4

Polynom 4. Grades hat doch 4 Nullstellen? (oder nur bis zu 4?)

Ja, du hast Recht, ein Polynom 4. Grades kann bis zu 4 Nullstellen haben. Unser Polynom hat wegen

$$2x^4-6x^2-8 =\\ 2\cdot\left(\left(x^2\right)^2-3\cdot x^2-4\right) =\\ 2\cdot\left(\left(x^2\right)^2+x^2-4\cdot x^2-4\right) =\\ 2\cdot\left(x^2\cdot\left(x^2+1\right)-4\cdot(x^2+1\right)=\\ 2\cdot\left(x^2-4\right)\cdot\left(x^2+1\right)=\\ 2\cdot\red{\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)}\cdot\left(x^2+1\right) $$ genau zwei Nullstellen, nämlich

\(x=2\) und \(x=-2\).

Comments

Komisch. Grosserloewe erwähnte immerhin vor round about 10 Jahren das es 4 Nullstellen gibt. 2 reelle und 2 komplexe.

Es gibt 2 reelle Nullstellen :2 ind -2) und 2 komplexe Nullstellen ( i und -i) , siehe Rechnung

---

Nun ja, die beiden reellen Nullstellen habe ich ja schon erwähnt. Die "Nullstellen, die keine sind", die der Frage erwähnte, bekommt man so: $$ \dots\\2\cdot\red{\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)}\cdot\left(x^2+1\right)=\\ 2\cdot\red{\left(x-2\right)\cdot\left(x+2\right)}\cdot\blue{\left(x-\textrm{i}\right)\cdot\left(x+\textrm{i}\right)} $$Das sind insgesamt vier(!) komplexe Nullstellen. Insofern ist das andernorts Erwähnte eher nicht

Komisch. (...)

sondern traurig.

---

Warum ist es traurig, wenn man von 2 reellen und von 2 komplexen spricht.

Es sollte klar sein, dass die beiden reellen Zahlen gleichzeitig auch komplexe sind, man diese aber als reell bezeichnet.

Wenn ich jetzt sage, ich habe hier geometrische Objekte, und zwar zwei Quadrate und zwei Rechtecke.

Wer könnte mir sagen, wie viele geometrische Figuren ich wohl hier liegen habe? Sind es 2 oder 4 oder gar irgendwas anderes.

Ok, das war eher leicht, es ist natürlich irgendwas anderes, weil ich die Kreise, Dreiecke und den anderen Kam ja nicht erwähnt hatte.

Ich persönlich finde es schöner, wenn man von 2 reellen und 2 komplexen Nullstellen spricht.

Ich weiß nicht, was du erwartest, was schöner wäre. 4 komplexe Nullstellen oder 2 reelle und 4 komplexe Nullstellen.

---

Wie wäre es mit

genau 2 reellen und genau 2 weiteren komplexen Nullstellen ?

'Komisch' kann bei der Diskussion - außer der Diskussion an sich - nichts sein. Wenn schon, dann 'seltsam' :-)

---

Familie Müller hat zwei Haustiere, einen Dackel und einen Yorkshire Terrier. Um für Unterhaltung zu sorgen, sagt Frau Müller gelegentlich: Wir haben einen Dackel und einen Hund!

Außerdem haben Frau und Herr Müller vier Kinder. Um für Verwirrung zu sorgen, sagt Herr Müller gelegentlich: Wir haben drei Söhne und einen Mensch.

Die Antidiskriminierungsstelle beschäftigt sich inzwischen mit einigen Beschwerden des Dackels. Was aber wird passieren, wenn die vier Söhne der Müllers in die Schule kommen?

---

Langsam wird es ein bisschen kindisch und peinlich. Es ist in der Mathematik üblich, von reellen Nullstellen zu sprechen, wenn ihr Imaginärteil 0 ist, andernfalls spricht man von komplexen Nullstellen. Das wird man so auch in der Literatur wiederfinden. Wieso man da jetzt mit dämlichen Beispielen kommt, die keinen mathematischen Bezug haben, ergibt für mich keinen Sinn. Stattdessen sollte man vielleicht einfach einsehen, dass

Unser Polynom hat wegen [...] genau zwei Nullstellen, ...

schlicht falsch ist, denn ein Polynom 4. Grades hat nach dem Fundamentalsatz der Algebra nach Vielfachheit gezählt exakt 4 Nullstellen in \(\mathbb{C}\).

---

@am:

Das ist, wie du genau weißt, von vorne bis hinten Unsinn!