Begründen von Eigenschaften:

Question

wichtig für den nächsten Teil ist (a): "Seien M, N nichtleere Mengen und  L ⊆ M x N. Zeigen Sie, dass L genau dann Graph einer Abbildung f : M → N ist, wenn für alle m ∈ M der Schnitt L ∩ {m} x N genau ein Element  enthält."

(b) Begründen Sie mit der Eigenschaft aus Teil (a), welche der folgenden Mengen L Graphen einer Abbildung sind, und geben Sie gegebenfalls eine Abbildungsvorschrift an.

(i) L:= {(x,y) ∈ ℝ x ℝ | x² + y² = 1},
(ii) L:= {(x,y) ∈ ℚ x ℚ | es gibt ein t∈ ℚ so, dass x = 2t und y = t²}.

Zu (i):
Hier wäre die Abbildungsvorschrift doch f: ℝ -> ℝ, da die reellen Zahlen auf die reellen Zahlen abgebildet werden?
Zudem wäre L keine Abbildung, da für jedes x > 1 und x < 1 sowie y > 1 und y < 1 ungleich 1, oder?

Zu (ii):
Abbildungsvorschrift wäre hier f: ℚ -> ℚ?
Meine Idee um die Abbildung zu bestimmen:
Da t ∈ ℚ ist t:= a/b. x = 2(a/b) und y = (a/b)².
Weiter weis ich aber ab hier nicht mehr :-/

Florian T. S.

Answer 1

(i) L:= {(x,y) ∈ ℝ x ℝ | x² + y² = 1},


Zu (i):
Hier wäre die Abbildungsvorschrift doch f: ℝ -> ℝ, da die reellen Zahlen auf die reellen Zahlen abgebildet werden?   falsch, da es keine Abbildung ist.

Zudem wäre L keine Abbildung, da für jedes x > 1 und x < 1 sowie y > 1 und y < 1 ungleich 1, oder?

konkret: Es ist sowohl (0;1) also auch  (0;-1) ein Paar in L.

Also gibt es zu m=0 im Durchschintt von L mit {m}x ℝ mehr als ein Element,

also ist L keine Abbildung und somit gibt es auch keine Abb.vorschrift.

(ii) L:= {(x,y) ∈ ℚ x ℚ | es gibt ein t∈ ℚ so, dass x = 2t und y = t²}.

Zu (ii):
Abbildungsvorschrift wäre hier f: ℚ -> ℚ?

unvollständig: Zur Abb.vorschrift gehört noch eine

Vorschrift, wie man zu x aus Q das f(x) bestimmen soll.

Meine Idee um die Abbildung zu bestimmen:
Da t ∈ ℚ ist t:= a/b. x = 2(a/b) und y = (a/b)².

Fast fertig   x/2 = a/b  und  y = (a/b)²  

also  y =  (x/2)^2

Und weil es zu jedem x aus Q

genau ein y mit der Eigenschaft  y =  (x/2)^2gibt,

ist es eine Abbildung mit

f: ℚ -> ℚ  und f(x) =    (x/2)^2   für alle x aus Q.

ist übrigens weder injektiv noch surjektiv.

Comments

Vielen Dank mathef! Sorry für die vielen Fragen, leider bin ich nicht einer der Erstis,
der den Übungszettel sofort versteht, sonder nur gelegentlich teilweise Ansätze hat.
Ich hoffe, dass sich diese unsicherheit des Beweisens / Zeigens noch bei mir
einstellt.

und ein tolles Wochenende mathef :-)

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Wird schon werden.

Übung macht den Meister.

Ich wünsche viel Erfolg!