Berechnen Sie die vier komplexe Lösungen der biquadratischen Gleichung

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die vier komplexe Lösungen der biquadratsichen Gleichung

z⁴ - 2z² + 2 = 0

Problem/Ansatz:

Ich hatte z⁴   mit x² ersetzt und dann pq formel angewandt. Jedoch bekam ich ein mögliches ergebnis und ein nicht mögliches heraus, wo finde ich die anderen beiden lösungen,einfach mit - vor die beiden Lösungen?

Vielen Dank!

Comments

wolfram liefert:

https://www.wolframalpha.com/input?i=z%5E4-2z%5E2%2B2+%3D0

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Jedoch bekam ich ein mögliches ergebnis und ein nicht mögliches heraus,

Wie lauten sie? Welches davon findest Du möglich und welches unmöglich? Wieso?

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Okay da habe ich wohl gewaltig was falsch gemacht, meine Lösungen waren einfach mit der pq-Formel √(-1√2) und √(-1-√2)

Wie kommt der Rechner plötzlich auf sinus und cosinus?

Bin sehr verwirrt :(

Answer 1

Aloha :)

$$z^4-2z^2+2=0\quad\big|-1$$$$z^4-2z^2+1=-1\quad\big|\text{2-te binomische Formel und \(i^2=-1\)}$$$$(z^2-1)^2=i^2\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$z^2-1=\pm i\quad\big|+1$$$$z^2=1\pm i\quad\big|\sqrt{\cdots}$$$$z=\pm\sqrt{1\pm i}$$

Mit \((1\pm i)=\sqrt2\,e^{\pm i \frac\pi4}\) bzw. \(\sqrt{1\pm i}=\sqrt[4]{2}e^{\pm i \frac\pi8}\) kannst du die 4 Lösungen auch in der folgenden Form schreiben:$$z=\pm\sqrt[4]2\cdot\left(\cos\frac\pi8\pi\pm\sin\frac\pi8\pi\right)$$

Comments

Vielen Dank das hilft sehr.

Nur verstehe ich leider noch nicht, wie man auf die untere Formel für z= kommt und auch nicht wie auf die zweite E-funktion, die erste bekomme ich bei der Umrechnung mit Radius und Phi ebenfalls raus, aber die zweite leider nicht, entschuldige bitte und wirklich vielen vielen Dank, das hilft sehr.

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Wenn dir der Schirtt$$(1\pm i)=\sqrt{2}\cdot e^{\pm i\frac\pi4}$$klar ist, muss im nächsten Schritt die Wurzel gezogen werden:$$\sqrt{1\pm i}=(1\pm i)^{\frac12}=\left(\sqrt{2}\cdot e^{\pm i\frac\pi4}\right)^{\frac12}=\left(\sqrt2\right)^{\frac12}\cdot\left(e^{\pm i\frac\pi4}\right)^{\frac12}$$$$\phantom{\sqrt{1\pm i}}=\left(2^{\frac12}\right)^{\frac12}\cdot\left(e^{\pm i\frac\pi4}\right)^{\frac12}=2^{\frac14}\cdot e^{\pm i\frac{\pi}{8}}=\sqrt[4]2\cdot e^{\pm i\frac{\pi}{8}}$$

Mit der Euler-Formel \(e^{\pm ix}=\cos x\pm i\sin x\) folgt die Darstellung.

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Perfekt vielen vielen Dank, jetzt kann ich es nachvollziehen.

Die Formel reicht oder muss ich noch explizit die Lösungen rausschreiben?

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Du kannst die eine Formel angeben und  vielleicht noch dazu schreiben, dass es 4 Lösungen gibt, die durch Kombitation der \(\pm\) Zeichen entstehen.