wieso ist det(3B) das gleiche wie 3^{3}·det(B)

Question

Habe eine 3x3 Matrix: B
gegeben Det(B)=-1/3

gesucht Det(B+B+B)

was ich verstehe B+B+B ist das gleiche wie 3B das wiederhum sagt mir das ich vor jeder Zahl(punkt?( weis den Fachbegriff nicht)) in meiner matrix eine 3 habe. Das kann ich noch nachvollziehen. Meine Lösungen sagen mir das ich aus jeder zeile der Matrix eine 3 raus ziehen kann und somit der faktor 3^3 entsteht.

heist meine lösung ist 3^3*det B=-9

Im Internet habe ich noch diese "regelung" gefunden:

Multipliziert man jede Zeile von A mit λ, dann wird aus der Matrix A die Matrix λ⋅A. Wendet man die zweite Eigenschaft  n-mal an, dann erhält man in jedem Schritt einen Faktor λ dazu und man sieht, dass det(λ⋅A)=λ n det(A) ist.

Meine Frage an euch schlaue Füchse ist erstens wie ziehe ich aus jeder zeile eine 3 und zweitens wie verrechne ich das?

falls erwünscht mache ich auch gerne eine skizze und lade die hier hoch

mfg Only··

Comments

3a3b3c
3d3e3f = 3B
3g3h3i

                  

                                 a b c

Det 3b= det 3*3*3  ( d e f )

                                 g h i

warum geht das warum zeilenweise und nichtmatrizen weise
edit frage

Answer 1

Hallo

was ich verstehe B+B+B ist das gleiche wie 3B
das wiederhum sagt mir das ich vor jeder Zahl(punkt?( weis den Fachbegriff nicht)) in meiner matrix eine 3 habe

Genau. Jeder Eintrag der Matrix wurde mit 3 multipliziert. Das ist damit gleichbedeutend, dass jede Zeile der Matrix B mit drei multipliziert wurden.

Es gibt die Rechenregel: "Multlipliziert man eine Zeile (bzw. Spalte) mit λ, dann multipliziert sich die Determinante mit λ."
https://netmath.vcrp.de/downloads/Skripte/Schell/Mathe1/15-Determinanten/rechenregeln.html

Darum ist det(3B) = 3·3·3·det(B)  = 3^{3}·det(B).

Grüße