Zeigen Sie: ATA hat eine Cholesky-Zerlegung

Question

Aufgabe:

Sei A eine Matrix ℝ^mxn mit m ≥ n und rkA = n.

Zeigen Sie:

A^TA besitzt eine Cholesky-Zerlegung.

Problem/Ansatz:

Eine Cholesky Zerlegung kann man bei symmetrischen und positiv definieren anwenden, reicht es dann zu zeigen, dass A^TA diese Eigenschaften hat?

Comments

Ja, das reicht

Answer 1

Hallo 123vier. Aus Wikipedia: https://de.wikipedia.org/wiki/Cholesky-Zerlegung:

Die Cholesky-Zerlegung (auch Cholesky-Faktorisierung) (nach André-Louis Cholesky, 1875–1918) bezeichnet in der linearen Algebra eine Zerlegung einer symmetrischen positiv definiten Matrix in ein Produkt aus einer unteren Dreiecksmatrix und deren Transponierten.

Aus ChatGPT:

Wenn das alles stimmt, dann bleibt zu zeigen, dass dein A^T * A positiv definit ist. Was ist mit rkA = n gemeint?

Comments

Der Rang von A ist damit gemeint. Also wenn man für so einfache Fragestellungen eine KI braucht, dann ... Zu zeigen, dass die Matrix symmetrisch und positiv semidefinit ist, erfordert keine besonderen Kenntnisse außer eben die der entsprechenden Definitionen.