Aufgabe:
Sei \( A=\left(a_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) eine symmetrische und positiv definite Bandmatrix mit Bandbreite \( m \in \mathbb{N} \), d.h. \( a_{i j}=0 \) for \( i, j \in \mathbb{N} \) mit \( |i-j|>m \). Zeigen Sie, dass die untere Dreiecksmatrix \( L=\left(l_{i j}\right)_{i, j=1, \ldots, n} \in \mathbb{R}^{n \times n} \) die sich aus der Cholesky-Zerlegung ergibt, die gleiche Bandbreite \( m \) hat. Das bedeutet \( l_{i j}=0 \) for \( i, j \in \mathbb{N} \) mit \( i-j>m \).
Problem/Ansatz:
Ich habe eine ähnliche Aussage für LU-Zerlegung gefunden, welche dann mit Induktion gezeigt wurde: https://lp.uni-goettingen.de/get/text/1021
Würde dies auch für die Cholesy-Zerlegung funktionieren?
Den einzigen Hinweis, denn ich noch habe ist: Der Beweis ergibt sich direkt aus einer Hausübung zur Hülle einer Matrix. Weiß leider nicht auf was die da hinaus wollen :/
