Integralrechnung Volumen Grenzen. V von Koordinatenebenen und x+y+z=1 begrenzter Körper.

Question

Aufgabe:

(V) ist der von den Koordinatenebenen und der Ebene mit der Gleichung \( x+y+z=1 \) begrenzte Körper. Berechnen Sie \( \underset{(V)}{ \iiint } f(x, y, z) d V \) mit \( f(x, y, z)=2 x+y+z \)

Wie ich das Integral lösen kann weiß ich. Allerdings weiß ich nicht wie ich meine Grenzen herausbekomme.

Comments

Zwischen Koordinatenebenen und Ebene x+y+z=1 ist nur eine Pyramide im ersten Oktanten endlich.

Deshalb Annahme: x,y,z nicht negativ. (Steht zwar nirgends, wüsste aber nicht, wie ich das ohne jegliche Einschränkung rechnen sollte. Da würde der Körper doch unendlich gross (?).)

x+y+z= 1

Ich beginne mit x geht von 0 bis 1 . Grenzen des äussersten Integrals.

y = 1-x-z              |z nicht negativ.

Somit y von 0 bis 1-x      . Grenzen des mittleren Integrals

und nun
z = 1-x-y

Somit z von 0 bis 1-x-y.            innerste Grenzen

Answer 1

Zwischen Koordinatenebenen und Ebene x+y+z=1 ist nur eine Pyramide im ersten Oktanten endlich.

Deshalb Annahme: x,y,z nicht negativ. (Steht zwar nirgends, wüsste aber nicht, wie ich das ohne jegliche Einschränkung rechnen sollte. Da würde der Körper doch unendlich gross (?).)

x+y+z= 1

Ich beginne mit x geht von 0 bis 1 . Grenzen des äussersten Integrals.

y = 1-x-z              |z nicht negativ.

Somit y von 0 bis 1-x      . Grenzen des mittleren Integrals

und nun
z = 1-x-y

Somit z von 0 bis 1-x-y.            innerste Grenzen

Integrieren kannst du ja offenbar (hoffentlich) selbst.