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Die Teit \(T\) bis zur Ausgabe der Testergebnisse kann als normalverteilt mit dem Erwartungswert \(\mu=14\) Stunden angenommen werden. 98% der Proben waren in maximal 24 Stunden ausgewertet:$$P(T<24)=0,98$$
Aus dieser Information bestimmen wir zunächst die Standardabweichung \(\sigma\) für die Zufallsvariable \(T\). Wir nehmen dazu an, \(\sigma\) bereits zu kennen, damit wir \(T\) mittels einer z-Transformation \(z\coloneqq\frac{t-\mu}{\sigma}\) auf eine Standard-normalverteilte Zufallsvariable mit der Verteilung \(\phi(z)\) zurückführen können.
$$0,98=P(T<24)=\phi\left(\frac{24-\mu}{\sigma}\right)=\phi\left(\frac{10}{\sigma}\right)\implies$$$$\frac{10}{\sigma}=\phi^{-1}(0,98)=\pink{2,053749}$$Den pinken Wert für die inverse Standard-Normalverteilung kann man mit einem guten Taschenrechner bestimmen oder auf einer der unzähligen Seiten dazu im Internet bestimmen lassen.
Das führt uns auf die Standardabweichung:$$\sigma\approx4,869144$$
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit \(P(T>19)\), dass jemand länger als 19 Stunden auf sein Ergebnis warten muss, ist daher:$$P(T>19)=1-P(T<19)=1-\phi\left(\frac{19-\mu}{\sigma}\right)=1-\phi(1,026874)$$$$\phantom{P(T>19)}=1-\pink{0,847760}=0,152240\approx15,22\%$$Den pinken Wert gibt es wieder von einem guten Taschenrechner oder aus dem Netz.
