Würfeln auf dem Jahrmarkt - Der Erwartungswert

Question

Hallo, ich komme bei den Aufgaben gar nicht mehr weiter und brauche dringend Hilfe!

Aufgabe:

6er Würfeln
Würfel nacheinander 5 mal.
Was kannst du gewinnen?
Für fünf 6er: 500,- €

Für vier 6er: 20,-€

Für drei 6er: 15,- €

Für zwei 6er: 10,- €

Für eine 6: 5,- €
Dein Einsatz: Nur 5,- €

Aufgabe 1: Berechne für jeden möglichen Ausgang deines Spiels - man nennt dies auch
Zufallsgröße X - die Wkeit.
Aufgabe 2: Stelle die W'keiten grafisch in einem Histogramm dar. Lies dir dazu zuerst auf Seite 401 Information (2) durch.
Aufgabe 3: Berechne, welchen Gewinn du deinem Spiel erwarten kannst. Lies dir dazu zuerst auf Seite 402 Information (3) durch.
Aufgabe 4: Verändere dein Spiel so, dass es ein faires Spiel ist. Fair bedeutet, dass der zu erwartende Gewinn so groß ist wie der von dir zu leistende Einsatz.

Für Aufgabe 1 hab ich schon was raus bekommen und zwar:

Für 5€ 625/1944

Für 10€ 625/3888

Für 15€ 275/776

Für 20€ 25/776

Für 500€ 1/776

Nun komme ich nicht weiter.

Answer 1

Zu 1) Ein Spiel umfasst 5 Würfe mit einem sechsseitigen Spielwürfel. Die betrachteten möglichen Ausgänge sind: 5 Sechsen, 4 Sechsen, 3 Sechsen, 2 Sechsen, 1 Sechs und keine Sechs. Zu jedem Ausgang X ist die Wahrscheinlichkeit P(X) zu nennen. Dabei ist P(X)=\( \begin{pmatrix} 5\\x \end{pmatrix} \) ·\( (\frac{1}{6})^{x} \)·\( (\frac{5}{6})^{5-x} \).

Comments

Was für eine grandiose Hilfe. Das hat der FS doch schon erledigt!

Die fehlerhafte Schreibweise bemängel ich mal nicht.

Answer 2

1) X=0, X=1, .... X=5

3) Erwartungswert: (1/6)*495+ 5*(1/6)^4*(5/6)*15+ (5über3)*(1/6)^3*(5/6)^2*10 + (5über2)*(1/6)^2*(5/6)^3*10

+5*(1/6)*(5/6)^4*0 +(5/6)^5*(-5)

4) (1/6)*(500-x)+ 5*(1/6)^4*(5/6)*(20-x)+ (5über3)*(1/6)^3*(5/6)^2*(15-x)= + (5über2)*(1/6)^2*(5/6)^3*(10-x)
+5*(1/6)*(5/6)^4*(5-x) +(5/6)^5*(-x)

Sollte es nicht 50 statt 500 lauten?

Answer 3

Ich gehe mal davon aus, dass die angegebenen Beträge keinen Gewinn sondern eine Auszahlung angeben. Das ist nicht ganz klar. Man könnte durchaus die Angegebenen Werte auch als Gewinn beurteilen wegen der Angabe "Was kannst du gewinnen?"

Aufgabe 1: Berechne für jeden möglichen Ausgang deines Spiels (man nennt dies auch Zufallsgröße X) - die Wahrscheinlichkeit.

Du solltest evtl. nochmals deine Wahrscheinlichkeiten nachrechnen und diese auch genähert in Prozent angeben. Vermutlich hast du in der obigen Auflistung nur Schreibfehler gemacht, aber auch wenn du, die so bei dir im Heft notiert hast, ist das verkehrt.

Aufgabe 2: Stelle die Wahrscheinlichkeiten grafisch in einem Histogramm dar.

Ein Histogramm ist ähnlich einem Säulendiagramm in der die Säulenhöhe proportional zur Wahrscheinlichkeit ist. Bekommst du das selber hin?

Aufgabe 3: Berechne, welchen Gewinn du deinem Spiel erwarten kannst.

E(Auszahlung) = 0·3125/7776 + 5·3125/7776 + 10·1250/7776 + 15·250/7776 + 20·25/7776 + 500·1/7776 = 32875/7776 = 4.228 €

E(Gewinn) = E(Auszahlung) - E(Einsatz) = 4.228 - 5 = -0.772

Aufgabe 4: Verändere dein Spiel so, dass es ein faires Spiel ist. Fair bedeutet, dass der zu erwartende Gewinn so groß ist wie der von dir zu leistende Einsatz.

E(Auszahlung) = 0·3125/7776 + 5·3125/7776 + 10·1250/7776 + 15·250/7776 + 20·25/7776 + x·1/7776 = 5 --> x = 6505

Die Maximale Auszahlung könnte von 500 auf 6505 Euro erhöht werden.

Comments

Ich gehe mal davon aus, dass die angegebenen Beträge keinen Gewinn sondern eine Auszahlung angeben. Das ist nicht ganz klar. Man könnte durchaus die Angegebenen Werte auch als Gewinn beurteilen wegen der Angabe "Was kannst du gewinnen?"

Das ist in diesem Fall aber eindeutig klar, denn sprachlich bedeutet gewinnen in diesem Fall:

beim Spiel o. Ä. Geld oder einen Sachwert als Preis erhalten

[Quelle: Duden]

so dass hier nur eine Auszahlung gemeint sein kann. Es geht hier eben nicht um Gewinn im ökonomischen Sinne. Mit dieser Argumentation ist dann allerdings Aufgabe 3 nicht ganz eindeutig. Aber ich denke, hier sollte klar sein, dass hier dann der Gewinn im ökonomischen Sinne gemeint ist. Im Zweifel sollte man sowas bei der Lösung solcher Aufgaben einfach dabei schreiben.

Man sagt ja auch nicht: Unternehmen XY hat im Jahr 2023 50.000 Euro gewonnen, sondern 50.000 Euro Gewinn erzielt/erwirtschaftet oder was auch immer.

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Ich finde es persönlich schöner wenn man Gewinn und Auszahlung strikt voneinander trennt, wie es bei üblichen ähnlichen Aufgaben eben auch gemacht wird.

Daher habe ich das in meiner Antwort auch strikt unterschieden.

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Das sehe ich auch so. Aber offenbar denken einige Autoren über derartige Schwierigkeiten nicht nach. Aber das passiert ja häufig, wenn man selbst eine gewisse Vorstellung von der Aufgabe hat. Dann geht man gerne davon aus, dass etwas ja nur auf diese Weise verstanden werden kann.

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Wie es hier vestanden wurde geht ja schon aus der letzten Frage hervor

"Fair bedeutet, dass der zu erwartende Gewinn so groß ist wie der von dir zu leistende Einsatz."

In den Schulbüchern die ich kenne ist ein Spiel fair, wenn der erwartende Gewinn pro Spiel eben 0 ist. Und das ist genau dann der Fall, wenn die erwartete Auszahlung gleich dem Einsatz ist.

Aus diesem Grund sollte man die Schüler evtl. dafür sensibilisieren, dass Auszahlung eben nicht Gewinn ist.

Bzw. dass es dort unterschiedliche Definitionen gibt.