Erwartungswert für Gewinn bzw. Verlust bei Glücksspiel mit zwei Würfeln

Question

 Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel geworfen. Der Einsatz beträgt 5€.
Bei einem (1) Sechserpasch gewinnt man 15€, ist eine der Augenzahlen eine (2) Sechs, aber keine Doppelsechs, dann gewinnt man 8€. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn bzw. Verlust. Berechnen Sie den Erwartungswert E(x) und die Standardabweichung.

Meine Überlegungen:

(1) p=136, Gewinn: 15-5=10€

(2) p=536 (In den Lösungen steht aber 1036. ), Gewinn: 8-5=3€

(3) p=2536 (In den Lösungen steht aber 2036. ), Gewinn 0-5=-5€

Stimmt der Erwartungswert von -2.361?

Answer 1

6er-Pasch: 1/36

eine 6: 10/36 (Du hast 2 Würfel)

andere: 25/36

E(X) = -85/36, aber nur wenn Du richtig rechnest

Comments

wenn Du richtig rechnest

Schon mal selber versucht ?
Tipp :  Gewinn ≠ Auszahlung

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E(X) = -85/36 mit Berücksichtigung des Einsatzes;

E(X) = 95/36 ohne Berücksichtigung des Einsatzes.

"Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn bzw. Verlust" scheint den Einsatz bereits zu berücksichtigen.

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Warum sollten mit dem einen Begriff "Gewinn(en)" in der Aufgabenstellung zwei unterschiedliche Größen gemeint sein?

Wie wäre es also mit  E(X) = - 10/12  ?

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99 % dessen, was Du hier tust, sind Andeutungen in Kommentaren, aber im Prinzip nie echte Antworten. Darauf habe ich sicher keine Lust; mache Deine Spielchen mit jemand anderem.

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@mlgast1234

Das sehe ich genauso, wie du. hj2166 gibt kaum Hilfen für den FS sondern bewegt sich in diesem Forum, um seine intellektuelle Überheblichkeit auszuleben.

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@ Gast hj2166Erklär doch mal Deinen Ansatz

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E(X)  =  1/36 * 15  +  10/36 * 8  + 25/36 * (-5)   =   -5/6

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@Gast hj2166

In Anbetracht des bisherigen Wort- und Argumentenwechsels (der Zeit genug gegeben hat, die eigene Position zu überdenken) ist dieser Ansatz peinlich.

Entweder

ignoriert man zunächst den Einsatz und betrachtet nur die möglichen Auszahlungen (dann sind die Werte 15 und 8 und 0)

oder

man bezieht den Einsatz mit ein (dann sind die Werte 10 und 3 und -5).

So sehr ich in anderen Threads deine mitunter gnadenlose Kritik (weil oft berechtigt) unterstützen kann - hier war es ein Eigentor. Kein guter Tag für deine Reputation...

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In der Aufgabe heißt es "gewinnt man 15€" und dann "X beschreibt den Gewinn", also ist meine Vorgehensweise absolut in Ordnung. Man soll nicht den Erwartungswert der Auszahlung berechnen.

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X beschreibt den Gewinn

Ja, und bei gewissen Würfelergebnissen gewinnt man nichts (also 0 € und nicht -5€). Nirgendwo steht geschrieben, dass man nach getätigtem Einsatz und erfolgtem Würfeln bei Misserfolg NOCHMAL 5€ hinblättern muss.

absolut in Ordnung.

Alles ist relativ.

Answer 2

(1) p =   1/36, Gewinn laut Angabe: X = 15 €
(2) p = 10/36 (wie in den Lösungen), Gewinn laut Angabe: X = 8 €
(3) p = 25/36 (wie bei dir), Gewinn X = 0 € - 5 € = -5 €

"Stimmt der Erwartungswert von -2.361 €?" Nein.

Comments

Schau mal auf die Antwort von Tschakabumba und erklär uns doch mal Deine Sicht der Dinge.

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Naja, die Angabe "Bei einem Sechserpasch gewinnt man 15 €" bedeutet, dass der Gewinn bei zwei Sechsen eben 15 Euro beträgt und die – hier unwichtige – Auszahlung dementsprechend 20 Euro. Das ist die übliche Begriffsführung bei Gewinnspielen und wird in den entsprechenden Kapiteln der Schulbücher, die sich dieser Materie annehmen, auch oft genug genau so thematisiert. Oft findet sich gar der ausdrückliche Hinweis "Beachte: Gewinn = Auszahlung minus Einsatz".

Dieses nicht zu beachten, war bereits einer der Fehler in der Frage. Er wurde dann von allen bisherigen Antworten wiederholt.

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@az0815: Sehe das auch so. Habe deinen Kommentar nun zu einer Antwort gemacht. Der Fragesteller sollte sich auf jeden Fall nochmals um die genaue Formulierung der Frage kümmern.

Aber bitte dann in einem Kommentar und nicht einfach die Fragestellung ändern.

Hier die Formulierung die zur vorliegenden Antwort passt.

"Bei einem Glücksspiel werden zwei Würfel geworfen. Der Einsatz beträgt 5€.
Bei einem (1) Sechserpasch gewinnt man 15€, ist eine der Augenzahlen eine (2) Sechs, aber keine Doppelsechs, dann gewinnt man 8€. Die Zufallsgröße X beschreibt den Gewinn bzw. Verlust. Berechnen Sie den Erwartungswert E(x) und die Standardabweichung."

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Ihr steckt hier "Hintergrundwissen" in die Aufgabe, das dort nicht drin steht. 5€ Einsatz bedeutet, man muss erstmal bezahlen, damit man mitspielen darf. Nirgendwo steht, dass man seinen Einsatz wieder bekommt, wenn man gewinnt.

Das ist wie bei einer Lotterie. Ich kaufe ein Los, wenn ich gewinne, bekomme ich den Preis für das Los nicht wieder. Ich spiele Lotto, wenn ich gewinne, bekomme ich den Preis für die Tippreihen nicht wieder. Ich mache bei einem Fernseh-Voting mit, zahle 0,50€ und gewinne vielleicht 10k€ oder ein Auto, kriege aber die 0,50€ nicht wieder.

Daher halte ich den Lösungsansatz von Gast az0815 für falsch.

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Gewinn = Auszahlung - Einsatz.

D.h. die Frage ist wahrscheinlich falsch gestellt. Ansonsten: Die Frage zieht Weltwissen mit ein. Den Einsatz bei Glückspielen muss man immer von der Auszahlung abziehen. Wenn du jede Woche Lotto spielst, verlierst du jede Woche Geld.

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Zerbrecht euch nicht den Kopf, die Aufgabe ist vermutlich eh Schnee von gestern. Annamathe hat sich bisher noch gar nicht geäußert. Sie muss wissen, wie im Unterricht der Gewinn bei solchen Aufgaben definiert ist. Dann kann sie auch die passende Lösung auswählen.

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Ihr steckt hier "Hintergrundwissen" in die Aufgabe, das dort nicht drin steht.

Das stimmt, aber die Aufgabe darf auch nicht ohne Kontext gedeutet werden. Sie ist offenbar einem Schulbuch entnommen und dort werden die Zufallsgrößen "Einsatz", "Auszahlung" und "Gewinn" hinreichend genau definiert und die Schüler sind gehalten, bei der Bearbeitung einschlägiger Aufgabenstellungen diese Größen auch dann genau auseinanderzuhalten, wenn das nicht jedesmal als Hinweis darin steht.

Gewinn = Auszahlung - Einsatz.
D.h. die Frage ist wahrscheinlich falsch gestellt. Ansonsten:

Nein, die Frage ist korrekt gestellt und dies geschah sicher mit Absicht. Falsch sind lediglich die auf Fehldeutungen beruhenden Antworten. Ich habe zu der Aufgabe beim Herumblättern in einigen Büchern noch keine Quelle gefunden, aber doch viele ähnliche Aufgaben, die dieses Problem der Fehldeutungen geradezu thematisieren.

Answer 3

Aloha :)

Folgende Punkte entnehmen wir der Aufgabenstellung:

- Jedes Spiel kostet 5€.

- Bei einem Sechserpasch bekommt man 15€ ausbezahlt.

- Bei genau einer Sechs bekommt man 8€ ausbezahlt.

Zur Berechnung der Zufallsgröße \(X\)="Gewinn bzw. Verlust" stellen wir das tabellarisch dar:

X	1	2	3	4	5	6
1	-5	-5	-5	-5	-5	+3
2	-5	-5	-5	-5	-5	+3
3	-5	-5	-5	-5	-5	+3
4	-5	-5	-5	-5	-5	+3
5	-5	-5	-5	-5	-5	+3
6	+3	+3	+3	+3	+3	+10

In 25 Fällen verliert man den Einsatz von 5€, in 10 Fällen gewinnt man 8€-5€=3€ und in 1 Fall gewinnt man 15€-5€=10€. Daher ist der Erwartungswert für \(X\):

$$\mu_X=\frac{25\cdot(-5)+10\cdot3+1\cdot10}{36}=-\frac{85}{36}\approx-2,3611$$

Die Varianz von \(X\) beträgt:

$$V(X)=\frac{25}{36}(-5-2,3611)^2+\frac{10}{36}(3-2,3611)^2+\frac{1}{36}(10-2,3611)^2$$$$\phantom{V(X)}=17,0640$$Daher ist die Standardabweichung:

$$\sigma_X=\sqrt{V(X)}=4,1309$$