Frage: Wie finde ich die Kumulative Distribution (CDF) von X?

Question

Aufgabe:

Frage: Wie finde ich die Kumulative Distribution (CDF) von X?

Ich habe versucht ein Integral aufzustellen von 0 bis x und nach 1 aufzulösen, aber das alpha ist ein Problem.

Answer 1

Aloha :)

Der Vorfaktor der Exponentialfunktion ist bis auf das Vorzeichen die Ableitung des Argumentes, daher kannst du das Integral sofort hinschreiben:$$F(x)=\int\limits_0^xf_X(t)\,dt=\int\limits_0^x\alpha^2t\cdot e^{-a^2t^2/2}dt=\left[-e^{-\alpha^2t^2/2}\right]_{t=0}^x=1-e^{-\alpha^2x^2/2}$$

Comments

Und das Ergebnis der Integralrechnung 1-e^(-a^2x^2/2) stellt dann die CDF dar? Theoretisch ist dies nur die Fläche oder? Oder muss ich diese Lösung am Ende nach 1 auflösen? Da die Fläche des CDF 1 sein muss.

Lg

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Da die Fläche des CDF 1 sein muss.

Das Ergebnis 1 kommt erst raus, wenn x gegen unendlich geht.

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Also ist 1-e^(-a2x^2/2) die CDF von x, für x -> unendlich?

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Also ist 1-e^(-a2x2/2) die CDF von x, für x -> unendlich?

Nein. 1-e^(-a2x2/2) ist die CDF von x für JEDES x>0.

Der konkrete Wert 1 wird nur dann erreicht, wenn x gegen unendlich geht.

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Ja richtig, die Verteilungsfunktion ist die Fläche unter der Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichte. Im Ergennis erkennst du, dass von der \(1\) immer ein Wert zwischen \(0\) und \(1\) subtrahiert wird. Für \(x\to\infty\) geht die \(e\)-Funktion gegen Null und von der \(1\) wird nichts mehr abgezogen. Daher ist die gesamte Fläche gleich \(1\), wie es sich für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gehört.