Bestimme y'(x) einerseits mittels implizitem Differenzieren und andererseits durch explizites Ausdrücken von y(x)

Question

Aufgabe:

Gegeben sei e^(xy)=2. Bestimme y'(x) einerseits mittels implizitem Differenzieren und andererseits durch explizites Ausdrücken von y(x)

Problem/Ansatz:

Wenn ich nach y(x) umfstelle habe ich y=ln(2)/x^2. Das abgeleitet ergibt y'(x)=-ln(x)/x^2

Wenn ich implizit mit der Regel y'(x)=-F_x/F_y ableite, dann komme ich auf y'(x)=ye^(xy)/xe^(xy)=-x/y

Warum kommt nicht dasselbe raus?

Danke für die Hilfe!

Answer 1

Aloha :)

Bei der impliziten Ableitung von$$f(x;y)=e^{xy}=2$$bildest du auf beiden Seiten der Gleichung die Ableitung:$$0\stackrel!=\frac{df}{dx}=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{dy}{dx}=ye^{xy}+xe^{xy}\cdot y'(x)\implies y'(x)=-\frac{y}{x}$$

Wenn du die Gleichung nach \(y\) unstellst:$$y(x)=\frac{\ln(2)}{x}$$und nach \(x\) ableitest, erhältst du dasselbe Ergebnis:$$y'(x)=-\frac{\ln(2)}{x^2}=-\frac{\frac{\ln(2)}{x}}{x}=-\frac{y}{x}\quad\checkmark$$

Comments

Danke, da war ich wohl etwas verwirrt! :)

Answer 2

Zum einen hast du oben \(y'(x)=-\frac{\ln(2)}{x^2}\) und zum anderen hast du bei der impliziten Ableitung \(y'(x)=-\frac{y}{x}\). Da hast du was vertauscht. Du muss natürlich bei der impliziten Ableitung das \(y\) wieder durch \(y(x)=\frac{\ln(2)}{x}\) ersetzen. Dann kommt auch dasselbe heraus.

Comments

Danke, macht jetzt Sinn :)