Question

Sei n ∈ N+. Beweise \( x^{n} \) ≡ x (mod \( x^{2} \) − x).

Comments

Das läuft doch darauf hinaus dass

x-1 Teiler von x hoch(n-1) - 1 ist.

Answer 1

\( x^{n} \) ≡ x (mod \( x^{2} \)  − x)

<=>  \( \exists k \in \mathbb{N}        x^{n} - x =  k \cdot (x^2 - x )\)

UND  \(  x^{n} - x =  k \cdot (x^2 - x )\)

<=>   \( x \cdot ( x^{n-1} - 1)  =  k \cdot x \cdot (x - 1 )\)

<=>  \(  x^{n-1} - 1  =  k \cdot (x - 1 )\)

Für n=1 klappt das mit k=0 und für größere n

ist es eine Folge von

(a-b) | (a^n - b^n)  mit b=1 .