Bestimme ggT(a, b) von dem polynomen.

Question

Sei a(x) = −2x^5+4x^4+34x^3−68x^2−32x+64 und b(x) = 3x^4−6x^3−9x^2+24x−12.
Bestimme ggT(a, b).

Answer 1

Aloha :)

Die beiden Polynome kann man wunderbar in Linearfaktoren zerlegen. Die ganzzahligen Nullstellen eines Polynoms müssen nämlich Teiler der Zahl ohne \(x\) sein.

Für das erste Polynom$$a(x)=-2x^5+4x^4+34x^3-68x^2-32x+64$$$$\phantom{p(x)}=-2(x^5-2x^4-17x^3+34x^2+16x-32)$$ist die Zahl ohne \(x\) die \(32\). Teiler der \(32\) sind alle 2er-Potenzen bis \((\pm32)\). Beim Durchprobieren finden wir alle 5 möglichen Nullstellen, nämlich bei: \(\pm1,2,\pm4\). Daher ist$$\red{a(x)=-2(x-2)(x-1)(x+1)(x-4)(x+4)}$$

Für das zweite Polynom finden wir mit dieser Methode:$$b(x)=3x^4-6x^3-9x^2+24x-12$$$$\phantom{b(x)}=3(x^4-2x^3-3x^2+8x-4)$$$$\green{b(x)=3(x-2)(x-1)^2(x+2)}$$

Wir schauen nun, welche Faktoren sowohl in der roten als auch in der grünen Zerlegung vorkommen. Das Produkt dieser Faktoren ist dann der ggT der beiden Polynome:$$\operatorname{ggT(a;b)}=(x-2)(x-1)=x^2-3x+2$$

Comments

Hey Herr Tschakumba, ich möchte nicht kleinlich wirken, jedoch ist da ein kleiner Vorzeichenfehler in der ersten Umformung der Gleichung. Statt -32 steht dort +32.

LG

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Danke schön... Hab's korrigiert ;)

Answer 2

Euklidischer Algorithmus

(- 2·x^5 + 4·x^4 + 34·x^3 - 68·x^2 - 32·x + 64) / (3·x^4 - 6·x^3 - 9·x^2 + 24·x - 12) = (-2/3·x) R (28·x^3 - 52·x^2 - 40·x + 64) = 4·(7·x^3 - 13·x^2 - 10·x + 16)

(3·x^4 - 6·x^3 - 9·x^2 + 24·x - 12) / (7·x^3 - 13·x^2 - 10·x + 16) = (3/7·x - 3/49) R (- 27·x^2 + 81·x - 54) = - 27·(x^2 - 3·x + 2)

(7·x^3 - 13·x^2 - 10·x + 16) / (x^2 - 3·x + 2) = (7·x + 8) R 0

Damit ist der ggT: x^2 - 3·x + 2

Du kannst auch eine Faktorisierung vornehmen

- 2·x^5 + 4·x^4 + 34·x^3 - 68·x^2 - 32·x + 64 = -2·(x + 1)·(x - 1)·(x - 2)·(x + 4)·(x - 4)

3·x^4 - 6·x^3 - 9·x^2 + 24·x - 12 = 3·(x + 2)·(x - 2)·(x - 1)^2

ggT: (x - 2)·(x - 1) = x^2 - 3·x + 2

Comments

Man hätte auch schon vorher die Polynome erestmal durch -2 bzw. 3 teilen können.