Aloha :)
Ein möglicher Orstvektor zum Abtasten der Fläche ist:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\4-\sqrt{x^2+y^2}\end{pmatrix}\quad;\quad x\in[0;1]\;;\;y\in[0;1]$$Das Flächenelement an der Stelle \(\vec r\) ist daher:$$d\vec f=\left(\frac{d\vec r}{dx}\,dx\right)\times\left(\frac{d\vec r}{dy}\,dy\right)=\begin{pmatrix}1\\0\\-\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\-\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{pmatrix}\,dx\,dy$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\\1\end{pmatrix}dx\,dy$$Sein Betrag ist$$df=\sqrt{\frac{x^2}{x^2+y^2}+\frac{y^2}{x^2+y^2}+1}\,dx\,dy=\sqrt2\,dx\,dy$$Damit erhalten wir die gesuchte Fläche:$$F=\int_Bdf=\int\limits_{x=0}^1\;\int\limits_{y=0}^1\sqrt2\,dx\,dy=\sqrt2\cdot\left[x\right]_0^1\cdot\left[y\right]_0^1=\sqrt2$$
