Berechne Sie den Radius der Grundfläche und die Länge der Mantellinie des Kegels, wenn Durchmesser Kugel gegeben ist

Question

Aufgabe:

Ein Kegel hat den gleichen Oberfächeninhalt wie eine Kugel mit Durchmesser 35cm.

Bei Kegel verhält sich der Durchmesser der Grundfläche zur Höhe wie 2:5.

Berechne Sie den Radius der Grundfläche und die Länge der Mantellinie des Kegels.

Problem/Ansatz:

Text erkannt:

$\begin{aligned} 0=& \pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r \cdot m \\ & \pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r \cdot\left(\sqrt{r^{2}+h^{2}}\right)=4 \cdot \pi \cdot r^{2} \\ & \pi=\frac{2}{5} d=\frac{2}{10} r \end{aligned}$
$\pi \cdot r^{2}+\pi \cdot r \cdot \sqrt{r^{2}+\frac{2}{10} r^{2}}=4 \cdot \pi \cdot 17.5^{2}$
$\pi \cdot r^{2}+\pi \cdot 8 \cdot \sqrt{12} r=1225 \cdot \pi$
$r^{2}+r^{2}=\frac{1225}{\pi \cdot \sqrt{12}}$
$2 r^{2}=\frac{1225}{\pi \cdot \sqrt{7}}$
$r=\sqrt{\frac{1225}{\pi \cdot \sqrt{12} \cdot 2}}=7,5 \mathrm{~cm}$

Die Lösung sollte r = 14.172cm ergeben

Mache ich einen Fehler mit dem einsetzten der 2/5?

Oder komplett falscher Lösungsweg?

Answer 1

Bei Kegel verhält sich der Durchmesser der Grundfläche zur Höhe wie 2:5.

Kegelhöhe

d/h = 2/5 → h = 5/2·d --> h = 5·r

Mantellinie

s² = r² + h² = r² + (5·r)² = 26·r² → s = √26·r

Kegelradius

pi·r² + pi·r·s = 4·pi·(35/2)²
pi·r² + pi·r·(√26·r) = 4·pi·(35/2)² --> r = 7·√(√26 - 1) = 14.17222481 cm

s = √26·7·√(√26 - 1) = 7·√(26·√26 - 26) = 72.26 cm

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Danke dir vielmals!