Als 5. Verfahren wähle ich noch die Berechnung über die Ableitung. Ableitungen werden zwar zur Bestimmung von Extremwerten gewählt, können aber auch zur Bestimmung von Nullstellen herangezogen werden. Ist nun die Extremstelle auch eine Nullstelle, bringt dieses Verfahren zum Finden der Nullstelle:
\(f(x)= \frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}\)
Herkömmlich:
\(\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}=0|\cdot 8\)
\(x^3-2x^2-15x+36=0\)
Potentiell möglich sind nun alle Teiler von \(36\): \((±1,±2,±3,±4,±6,±9,±12,±18,±36)\)
Unter Umständen kann das nun recht lange dauern, bis man auf eine Zahl stößt, die zur Polynomdivision benutzt werden kann.
Weg über die Ableitung:
\(f'(x)=\frac{3}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{15}{8}\)
\(\frac{3}{8}x^2-\frac{1}{2}x-\frac{15}{8}=0|\cdot \frac{8}{3}\)
\(x^2-\frac{4}{3}x-5=0\)
\(x^2-\frac{4}{3}x\red{+(\frac{2}{3})^2}=5\red{+(\frac{2}{3})^2}\)
\((x-\frac{2}{3})^2=\frac{49}{9} |±\sqrt{~~}\)
\(1.)\)
\(x-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} \)
\(x_1=3 \) \(f(3)= \frac{27}{8}-\frac{9}{4}-\frac{45}{8}+\frac{9}{2}=0\) Somit ist bei x=3 eine doppelte Nullstelle.
Nun braucht man \(x_2\) nicht mehr berechnen.
Polynomdivision \((\frac{1}{8}x^3-\frac{1}{4}x^2-\frac{15}{8}x+\frac{9}{2}):(x-3)\)ergibt die 2. Nullstelle bei \(x_3=-4\)
