Nullstellenberechnung d) f(x)= x^4-9 e) f(x)= x^3-7x^2 g) f(x)= x^4-9x^2+20?

Question

Das sind die Aufgaben, bei denen ich nicht weiterkomme:

d) f(x)= x^4-9
e) f(x)= x^3-7x^2
g) f(x)= x^4-9x^2+20 ;
hier habe ich die Substitution angewendet, komme auch auf Ergebnisse und zwar 5 und 4. Aber wie wandle ich das zuruck im x um? habe ja z=x^2 und z^2=x^4. Darf man bei der Substitution aussuchen welches man der Ergebnisse zuruckwandelt oder muss man beide?
j) f(x)= x^6 - 5x^4 - 6x^2

Answer 1

d) f(x) = x^4 - 9 = (x^2 - 3)·(x^2 + 3) [Anwendung der 3. binomischen Formel]

x = ± √3

e) f(x) = x^3 - 7·x^2 = x^2·(x - 7)

x = 0 ; x = 7

g) f(x) = x^4 - 9·x^2 + 20 = z^2 - 9·z + 20 mit z = x^2

z = 4 ; x = ± 2

z = 5 ; x = ± √5

j) f(x) = x^6 - 5·x^4 - 6·x^2 = x^2·(x^4 - 5·x^2 - 6) = x^2·(x^2 + 1)·(x^2 - 6) [Hier habe ich mit dem Satz von Vieta faktorisiert. Es geht aber auch Substuitution.]

x = 0 ; x = ± √6

Answer 2

Hi,
zu (d)
$$ x^4 - 9 = 0 $$ Mit der Substitution \( z = x^2 \) ergibt sich \( z^2 - 9 = 0 \) Also \( z = \pm 3 \)
Rücksubstitution ergibt \( x^2 = \pm 3 \) also \( x_{1,2} = \pm \sqrt{3} \) und  \( x_{3,4} = \pm i \sqrt{3}  \)

zu (e)
Es gilt \( x^3 - 7x^2 = x^2(x - 7) = 0 \) Daraus ergibt sich \( x_{1,2} = 0 \) und \( x_3 = 7 \)

zu (g)
$$ x^4 - 9x^2 + 20 = 0  $$ wird mit der Substitution \( z = x^2 \) zu \( z^2 - 9z + 20 = 0 \) und hat als Lösungen
\( z_{1,2} = \frac{9}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{9}{2} \right)^2 -20 } = \frac{9}{2} \pm \sqrt{ \frac{81}{4} - \frac{80}{4} } = \frac{9}{2} \pm \frac{1}{2} \) also \( z_1 = 4 \) und \( z_2 = 5 \)
Jetzt Rücksubstitution \( x^2 = 4 \) also \( x_{1,2} = \pm 2 \) und \( x^2 = 5 \) also \( x_{3,4} = \pm \sqrt{5} \)

Zu (j)
$$ x^6 - 5x^4 - 6x^2 = x^2 ( x^4 -5x^2 - 6)  $$ Damit sind zwei Nullstellen \( x_{1,2} = 0 \) Für die restlichen 4 Nullstellen muss man nun \( x^4 - 5x^2 -6 = 0 \) lösen. Wieder mit der Substitution \( z = x^2 \) ergibt sich \( z^2 - 5z -6 = 0 \) Also \( z_{1,2} = \frac{5}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{5}{2} \right)^2 + 6 } = \frac{5}{2} \pm \sqrt{ \frac{25}{4} + \frac{24}{4} } = \frac{5}{2} \pm \frac{7}{2} \) also \(z_{1} = 6  \) und \( z_2 = -1 \) Rücksubstitution ergibt \(  x_{3,4} = \pm \sqrt{6} \) und \( x_{5,6} = \pm i \)