Grund+Deckfläche Prisma

Question

Aufgabe: Die Punkte A(8/1/0), B (5/5/2), C(2/4/3) und D (3/1/2) sind die Eckpunkte der Grundfläche eines Prismas ABCDEFGH. Weiterhin sei der Punkt E (10/2/2) der Deckfläche bekannt.

a) Bestimmen Sie die Eckpunkte F, G und H

b) Weisen Sie nach, dass ABCD ein Drachenviereck ist.

C) Stellen Sie die gleichung der Ebene T durch die Punkte A, C und H in Normalenform auf

D) Bestimmen sie den Abstand des Punktes F zur Ebene T

E) Berechenen sie den Abstand von Grund und Deckfläche des Prismas und das Volumen

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich als Eckpunkte F(7/6/4),G(4/5/5) und H (5/2/4)

b)die benachbarten Seiten AB sowie AD (\( \sqrt{29} \) sind gleich wie BC und CD (\( \sqrt{11} \)

C) [x-(8/1/0)] × (3/5/1)

D) 4,4 LE

Hoffe diese Lösungen sind soweit richtig aber bei e) fehlt mir derzeit jeglicher Ansatz. Hoffentlich kann mir jemand helfen ^^

Answer 1

e) Berechenen sie den Abstand von Grund und Deckfläche des Prismas und das Volumen

n = AB ⨯ AD = [-3, 4, 2] ⨯ [-5, 0, 2] = 4·[2, -1, 5]

AE · n / |n| = ([2, 1, 2]·[2, -1, 5]) / |[2, -1, 5]| = 13/30·√30 = 2.373

Comments

Dankeschön, so habe ich es auch dann raus bekommen, was kommt als Volumen raus? ^^ (39,4VE?)

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Auch deine 39.4 sind näherungsweise richtig. Ich habe genauer 39 VE heraus.

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Vielen Dank :)

Answer 2

Volumen eines Prismas: \(V=G\cdot h\). Hierbei ist \(h\) der Abstand von Grundfläche zur Deckfläche und wird senkrecht zwischen den Ebenen gemessen. Du könntest also Ebenengleichungen der Flächen aufstellen und dann den Abstand berechnen. Das hat ja bei Aufgabe d) auch geklappt. Woran scheitert es nun bei e)?

Comments

Habe es in der Zeit jetzt anders gerechnet, habe die Ebene in Koordinatenform von ABC aufgestellt und den Punkt E eingesetzt und 2,4 rausbekommen, weiß aber nicht ob das so stimmt

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Nur, wenn du die Hessesche Normalform verwendest. Damit kannst du Abstände von Punkten zu Ebenen bestimmen durch Einsetzen des Punktes.

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Habe es in der Zeit jetzt anders gerechnet, habe die Ebene in Koordinatenform von ABC aufgestellt und den Punkt E eingesetzt und 2,4 rausbekommen, weiß aber nicht ob das so stimmt

Gerundet ist es richtig. Man darf es auch neben der Näherung gerne exakt mit 13/30·√30 angeben.