Konvergenz von Folgen im Mehrdimensionalen

Question

Aufgabe:

Konvergieren die beiden Folgen? Wenn sie divergieren, haben sie eine konvergente Teilfolge?

Folge 1: ( \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) , \( x^{\frac{5}{7}} \) )

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( \frac{1}{\sqrt{x}} \) = 0

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) \( x^{\frac{5}{7}} \) = ∞

Heißt das, dass die zweite Komponente divergiert, da ∞ keine Zahl ist?

Also würde die gesamte Folge divergieren. Aber hat sie eine konvergente Teilfolge?

Folge 2: ( cos(x*π) , \( x^{-0,6} \) )

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) cos(x*π) = divergiert

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x^{-0,6} \) = 0

Bei Folge 2 auch. Die 1. Komponente divergiert, also divergiert die gesamte Folge und hat eine konvergente teilfolge? ist das richtig

Comments

Wie soll man das in der Klammer verstehen?

Was heißt hier mehrdimensional?

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die folge besteht aus 2 komponenten, den grenzwert berechnet man aber für jede einzelne Komponente. Wenn 1 komponente z.b divergiert, divergiert die gesamte folge

Answer 1

Also würde die gesamte Folge divergieren.  Ja

Aber hat sie eine konvergente Teilfolge? nein. Denn für jede Teilfolge

würde die 2. Komponente auch gegen unendlich gehen.

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) cos(x*π) = divergiert , weil immer abwechselnd

die Werte +1 und -1 angenommen werden.

Aber wenn für das x nur gerade Zahlen genommen werden, hast du eine

Teilfolge, die gegen ( 1; 0 ) konvergiert.

Comments

danke, also divergiert die 1. Folge und hat keine konvergente Teilfolge und die 2. Folge divergiert und hat eine konvergente teilfolge?