Limes von Mehrdimensionalen Integralen berechen

Question

Aufgabe:

Für \(\epsilon > 0\) sei \( S_{\varepsilon}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: \varepsilon \leq \sqrt{x^{2}+y^{2}} \leq 1\right\} \). Berechne:

\( \lim \limits_{\varepsilon \to 0} \iint_{S_{\varepsilon}} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \)

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Berechnen Sie das mehrdimensionale Integral

Stichworte: mehrdimensional

Aufgabe:

Für ε > 0 sei

$$S_{ε}= ({(x, y) ∈ R^2 : ε ≤ \sqrt{x^{2}+y^{2}} ≤ 1}) $$

Berechnen Sie

$$\lim\limits_{x\to0}\int \limits_{}^{}\int \limits_{S_{ε}}^{} \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}dxdy$$

Answer 1

Hallo,

Übergang zu Polarkoordinaten:

x^2 + y^2 = r^2 , dxdy = rdrdφ

Integral(ε) = ∫ (0 bis 2 π) dφ ∫ ( ε bis 1 ) 1 dr

= 2 π (1-ε)

Integral (0) = 2 π

Answer 2

Aloha :)

Ich würde das Integral in Polarkoordinaten berechnen:

$$\binom{x}{y}=\binom{r\cos\varphi}{r\sin\varphi}\quad;\quad r\in[\varepsilon;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\varepsilon>0$$

Das Flächenelement wird durch diese Koordinatentransformation verzerrt:$$dx\,dy=r\,dr\,d\varphi$$

Wegen \(x^2+y^2=r^2\) erhalten wir für das Integral:$$I(\varepsilon)=\iint\limits_{S_{\varepsilon}}\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\,dx\,dy=\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\int\limits_\varepsilon^1\frac{1}{r}\,r\,dr=2\pi(1-\varepsilon)\quad\stackrel{(\varepsilon\to0)}{\to}\quad2\pi$$

Answer 3

Hallo

x^2+y^2 "schreit immer nach Polarkoordinaten, statt dA=dxdy hast du dann dA=rdrdφ und ein super einfaches Integral!

Gruß lul