Grenzen bestimmen bei mehrdimensionalen Integralen

Question

Leider habe ich große Probleme damit die Grenzen des Dreifach-Integrals zu bestimmen.

Könnt ihr mir anhand des Beispiels erklären wie man die Grenzen bestimmt ?

Beispiel:

Berechnen Sie das Integral

$$ \int _ { A } 12 z ^ { 2 } d ( x , y , z ) $$

über die Menge \( A : = \left\{ ( x , y , z ) \in \mathbb { R } ^ { 3 } : 0 < x ^ { 2 } < y < 1,0 < z < x y \right\} \)

Comments

Hallo

 zeichne doch das Gebiet, in dem du Schnitte mit  Ebenen z=const machst und = statt < benutzt (gibt die Ränder des Gebietes.)

Gruß lul

Answer 1

Bringe zuerst Deinen Integrationsbereich in die Form $$A=\{(x,y,z):(x,y)\in B\wedge g(x,y)<z<h(x,y)\}.$$ Hier ist ein schoenes Bild dazu: https://books.google.de/books?id=zN7aCuj5t3AC&pg=PA518.

Dann hast Du $$\int_A f(x,y,z)\,d(x,y,z)=\int_B\int_{g(x,y)}^{h(x,y)}f(x,y,z)\,dz\,d(x,y).$$ Jetzt das Uebliche. Drucke dieses Poster aus und nagle es an die Wand: https://www.math.tugraz.at/~wagner/Normalbereiche.pdf.

Natuerlich hat auch Heuser was dazu: https://books.google.de/books?id=zN7aCuj5t3AC&pg=PA470.

Comments

Vielen Dank für deine Antwort, könntest du es bitte vormachen für das Beispiel ? wäre super nett.

MfG

---

Hallo

 warum nicht erst mal du, was hast du gezeichnet?

Gruß lul

---

Ja, erst mal Du. Identifiziere B, g und h. Schreibe dann die Formel, die sich ergibt, hier mal auf. Und eine Skizze von B waere auch angebracht. Weil das Poster, das Du ausdrucken und an die Wand nageln sollst, will ja auch noch gebraucht werden.

---

Der FragerIn hat in einem anderen forum längst di antwort. lul

---

Da war der gute Radix schneller :^)

---

Zauberkuenstler fuehrt Trick vor. Oh!! Und wie ging das?

---

Vielen Dank für eure Antworten, ja es stimmt habe in einen anderen Forum schon die Antwort bekommen . Da ich aber das Verfahren generell erlernen möchte, sind eure Tipps viel hilfreicher. Danke dafür. :).

---

Fakename,

Also mein B wäre im Normalbereich  bezüglich Y

(x,y): 0<x<1 , x^2 <y<1

Bezüglich x

0<y<1 , 0<x< sqrt(y)

Danke nochmal