Koordinaten eines Punktes auf einem Graphen, der den geringsten Abstand zu einem Punkt hat

Question

ich bräuchte einmal Hilfe bei folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Relation y²=4x. Berechnen Sie die Koordinaten (x,y) des Punktes auf dem Graphen, der zu dem Punkt (2,1) den geringsten Abstand hat.

Wie gehe ich bei dieser Aufgabe vor ?

Answer 1

y^2 = 4x
y = 2 * √ x

Abstand
( x | y )
( 2 | 1 )

Δ y = y - 1  = 2 * √ x - 1
Δ x = x - 2

Pythagoras
Abstand ^2 = ( Δ y )^2 + ( Δ x ) ^2
Abstand ^2 = ( 2 * √ x - 1 ) ^2 + ( x -2 ) ^2
Abstand ^2 = 4 * x - 4 * √ x + 1 + x^2 -4x + 4
Abstand ^2 = x^2  - 4 * √ x + 5

Abstand ^2 und Abstand haben an derselben
Stelle einen Extrempunkt deshalb kann ich auch für
Abstand^2 den Extremwert suchen.
1.Ableitung
( x^2  - 4 * √ x + 5  ) ´ = 0
2x  -2 / √ x = 0
x = 1
( 1 | 2 )

Bitte nachrechnen und bei Bedarf nachfragen

Comments

Vielen Dank für den Tipp !

Answer 2

Für den zu minimierenden Abstand gilt nach dem Satz des Pythagoras
$$d^2(x,y)=(x-2)^2+(y-1)^2$$Um eine günstige Zielfunktion zu formulieren, können wir das mit \(4^2\) erweitern zu
$$\left(4d\right)^2(x,y)=(4x-8)^2+(4y-4)^2$$Zusammen mit der Nebenbedingung \(y^2=4x\) erhalten wir dann als Zielfunktion
$$\left(4d\right)^2(y)=(y^2-8)^2+(4y-4)^2$$Ableiten mit der Kettenregel ergibt
$$\begin{aligned} \left(2d^2(y)\right)' &= 4y(y^2-8)+8(4y-4) \\                       &= 4y^3-32 \\                       &= 4\cdot\left(y-2\right)\cdot\left(y^2+2y+4\right) \end{aligned}$$mit der einzigen Nullstelle \(y=2\), woraus zusammen mit der  Nebenbedingung noch \(x=1\) folgt.

Also ist \((1\vert 2)\) der gesuchte Punkt.

Answer 3

Der Abstand zweier Punkt ist durch den Satz von Pythagoras gegeben:$$d^2=(x-2)^2+(y-1)^2$$ Setze das \(y\) ein und erhalte:$$d^2=\left(x-2\right)^2+\left(\sqrt{4x}-1\right)^2$$$$d\left(x\right)=\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(\sqrt{4x}-1\right)^2}$$ Suche nach einem lokalen Minima.

Comments

Hallo Wurzel,
du kannst dir die Ableitung etwas vereinfachen.
Sie meine Vorgehensweise.

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Vielen Dank für Ihre Hilfe !

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Hallo Wurzel,
ging mir noch so durch den Kopf.

Etwas mathematischer formuliert

( √ term ) ´ = 0
term ´/ ( 2 * √ term ) = 0
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist,
also bei
term ´ = 0

( √ term ) ´ = 0  => term ´ = 0

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Etwas mathematischer formuliert
(...)
Ein Bruch ist dann 0 wenn der Nenner 0 ist,

?

Answer 4

  Ich schlage  ===>  implizites Differenzieren vor .

     y  ²  =  4  x        (  1a  )

    2  y  y  '  =  4      (  1b  )

      y  '  =  2 / y        (  1c  )

   F  (  x  ;  y  )  :=  (  x  -  2  )  ²  +  (  y  -  1  )  ²  =  min       (  2a  )

  F  '  (  x  ;  y  )  =  2  (  x  -  2  )  +  2  (  y  -  1  )  y  '  =  0      (  2b  )

    Einsetzen von  ( 1c )

     x  -  2  +  2  -  2 / y  =  0  ===>  x  y  =  2       (  2c  )

    Und aus    (  1a  )

     y  ³  =  8  ===>  y0  =  2  ;  x0  =  1       (  3  )

   " Und er hat auch überhaupt keine Wurzel gezogen. "

   Es gibt aber auch einen alternativen Ansatz .  Die Normalensteigung im Punkt  (  x0 |  y0  )  im Punkt  y0 beträgt gemäß   (  1c  )

    m  =  -  1 /  f  '  (  y0  )  =  -  y0 / 2     (  4a  )

     so dass du die Normalengleichung hast

    g  (  x  ;  y0  )  =  y0  -  y0 / 2  (  x  -  x0  )   =   (  4b  )

                           =  y0  -  y0 / 2  (  x  -  1/4  y0  ²  )     (  4c  )

    und zwar  (  4c ) wegen  (  1a  )   Wir fällen praktisch das Lot von dem Punkt P0 :=  ( 2 | 1 )  auf die Partabel; jetzt einsetzen von P0  in ( 4c )

         y0  -  y0  +  1/4  y0  ³  =  2      (  5  )

     Naa stimmt ' s ?

Comments

  Tschuldigung; Korrektur eines Rechenfehlers .     (  5  )  muss richtig heißen

     y0  -  y0  +  1/8  y0  ³  =  1        (  5  )