Hallo,
Die Aufgabe besagt eine Punkt \(Q\) zu finden, der zu \(P\) einen möglichst kleinen Abstand hat. Formal $$|Q - P| \to \min$$ oder einfacher, weil ohne Wurzel $$(Q-P)^2 \to \min$$mit dem konkreten \(P(4|\,6|\,1)\) und \(Q(x|\,y|\,z)\) ist die Funktion \(d^2\) des Quadrats des Abstands nebst der Nebenbedingung, dass sich \(Q\) auf dem Paraboloiden befinden muss$$d^2(x,y,z) = (x-4)^2+ (y-6)^2 + (z-1)^2 \to \min \\ \text{NB:} \space x^{2}+y^{2} -2 z-9 = 0 $$zu minimieren. Die Lagrange-Funktion nebst Ableitungen sind dann $$L(x,y,z,\lambda) =(x-4)^2+ (y-6)^2 + (z-1)^2 + \lambda(x^{2}+y^{2} -2 z-9) \\ \frac{\partial L}{\partial x} = 2(x-4) + 2x\lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial y} = 2(y-6) + 2y\lambda = 0 \\ \frac{\partial L}{\partial z} = 2(z-1) - 2\lambda = 0 \implies \lambda = z-1 $$aus der letzten folgt ein \(\lambda\) welches man in die beiden anderen einsetzen kann und am Ende kann man das vereinfachen zu $$-3x + 2y = 0$$was absolut Sinn macht. Das ist nämlich die hellgrüne Ebene hier
das ganze ist ja rotationssymmetrisch bezüglich der Z-Achse. Wenn man das rückwärts in die Nebenbedingung einsetzt, so kommt man das auf das \(Q=(2|3|2)\).
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