Wir definieren $$E := \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : y > 0\}$$ und $$E' := \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 < 1\}$$. Seien G und G' so, dass (E, G) das Halbebenenmodell $$H_2$$ der hyperbolischen Ebene darstellt und (E', G') die relative euklidische Geometrie $$E_2 | E'$$ auf E' bezeichnet. Beweisen Sie, dass die Abbildung $$Q : E \to E'$$, definiert durch $$Q(x, y) := \left( \frac{1 - 2x}{1 + x^2 + y^2}, \frac{-2y}{1 + x^2 + y^2} \right)$$, eine wohldefinierte Kollineation von $$H_2$$ nach $$E_2 | E'$$ ist. Hinweis: Sie sollten auch beweisen, dass die Abbildung $$Q$$ bijektiv ist. Ich weiß, dass eine Kollineation definiert werden kann, wenn (E, G) und (E', G') Inzidenzebenen sind, dann ist eine bijektive Abbildung $$f : E \to E'$$ eine Kollineation von (E, G) auf (E', G'), wenn f Linien auf Linien abbildet.
Problem/Ansatz:
Dank des Hinweises weiß ich jetzt genau, wo ich anfangen könnte. Aber noch nicht ganz wie. Die inverse Abbildung zu finden, falls es eine gibt, wäre zum Beispiel sehr vorteilhaft. Ich wäre für jede Hilfe dankbar :)
PS: Ich bitte um entschuldigeung für meine unübersichtliche LaTeX Verwendung :)
