Wie finde ich die Basis?

Question

Kann mir jemand diese Aufgabe erklären? Habe Sie so bekommen.

Text erkannt:

Geben Sie eine Basis der linearen Hülle \( L\left(b_{1}, b_{2}, b_{3}, b_{4}\right) \) an, falls
\( b_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right), b_{2}=\left(\begin{array}{c} -6 \\ -12 \\ 0 \end{array}\right), b_{3}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 3 \\ 7 \end{array}\right), b_{4}=\left(\begin{array}{l} 3 \\ 7 \\ 7 \end{array}\right) . \)

Hinweis: Verwenden Sie die Zeilenstaffelform.

B ist gesull
folglihh fill für \( \left\{\left(b_{1}, b_{1}, b_{3}, b_{n}\right)\right. \) ist eire Basis \( B=\left\{b_{1}, b_{2}, b_{3}\right\} \)

Answer 1

b1 und b2 sind linear abhängig. Einen der beiden kannst du weglassen

und hast dann mit b3 und b4 zusammen eine Basis

Comments

Also ist die Aufgabe so eigl. Falsch? Da hier ja die Basis mit b1 b2 und b3 angegeben wird?

Kann ich das richtige Ergebnis auch irgendwie aus dieser Zeilenstaffelform ablesen?

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Kannst Du. Dazu solltest Du die Zeilebstsffelform erst zuende rechnen. Außerdem ist eine Basis i.allg nicht eindeutig, es gibt also mehrere Lösungen

Answer 2

Aloha :)

Rechne die linearen Abhängigkeiten mittels elementarer Spaltenoperationen aus den Hüllenvektoren heraus:$$\begin{array}{rrrr} & +6S_1 & -S_1 & -3S_1\\\hline1 & -6 & 1 & 3\\2 & -12 & 3 & 7\\0 & 0 & 7 & 7\end{array}\to\begin{array}{rrrr} &  &  & -S_3\\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 1\\0 & 0 & 7 & 7\end{array}\to\begin{array}{rrrr} \vec b_1 &  & \vec b_2 & \\\hline1 & 0 & 0 & 0\\2 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 7 & 0\end{array}$$

Übrig bleiben 2 linear unabhängige Vektoren \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\), die eine mögliche Basis bilden.

Comments

Alles klar. Besten Dank. Werd mir das mal ansehen =)