Man finde eine Basis der Lösungsmenge des folgenden (homogenen) linearen Gleichungssystems

Question

Aufgabe:

"Man finde eine Basis der Lösungsmenge des (homogenen) linearen Gleichungssystems 2x₁ + x₂ = 3x₃ + x₄ ; x₁ + x₄ = x₂ ; x₂ + 2x₃ = x₄  "

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung schon vorgegeben bekommen, aber weiß nicht wie man darauf kommt.

Ich habe vor allem Probleme mit den Gauß Eliminationsverfahren.

Kann jemand vielleicht mir die ganze Aufgabe mit den Lösungsweg erklären und vielleicht ein paar Tipps geben, wie man mit dem Gauß Eliminationsverfahren besser zurechtkommt?

Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

Sortiere die Faktoren vor den Unbekannten \(x_1\) bis \(x_4\) so, dass Du das Gleichungssystem in Matrixform schreiben kannst. Aus$$2x_{1} + x_{2} = 3x_{3} + x_{4}\\ x_{1} + x_{4} = x_{2} \\ x_{2} + 2x_{3} = x_{4 }$$wird dann$$\begin{pmatrix} 2 & 1& -3& -1 \\ 1& -1& 0& 1 \\ 0& 1& 2& -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{pmatrix}\\$$Im folgenden interessiert jetzt nur noch die Matrix links. Um sich Arbeit zu sparen sucht man sich zunächst die Zeile mit einer \(1\) in der ersten Spalte und stellt diese nach oben. Die letzte Zeile beginnt bereits mit \(0\) und \(1\) und taugt als zweite Zeile der Stufenform. In diesem konkreten Fall reicht es also aus, die erste Zeile nach unten zu stellen$$\begin{pmatrix} 1& -1& 0& 1 \\ 0& 1& 2& -1\\ 2 & 1& -3& -1  \end{pmatrix}$$Damit haben die ersten beiden Zeilen bereits die Stufenform. Wir haben so noch nichts am Gleichungssystem geändern, sondern nur die Reihenfolge der Gleichungen getauscht.

Das nächste Ziel ist es die \(2\) der dritten Zeile zu eliminieren. Dazu ziehe man das doppelte (2-fache) der ersten Zeile von der dritten ab:$$\begin{pmatrix} 1& -1& 0& 1 \\ 0& 1& 2& -1 \\ 0 & 3& -3& -3  \end{pmatrix}$$ Und zum Entfernen der ersten \(3\) in der dritten Zeile, ziehe man das 3-fache der zweiten Zeile von der dritten ab:$$\begin{pmatrix} 1& -1& 0& 1 \\ 0& 1& 2& -1 \\ 0 & 0& -9& 0  \end{pmatrix}$$Somit entsteht in der dritten Zeile die Gleichung $$-9 x_3 = 0$$die nur erfüllt sein kann, wenn \(x_3=0\) ist. Nun setze z.B. \(x_4=t\), dann folgt aus der zweiten Zeile $$x_2 + 2x_3 - t = 0 \\ \implies x_2=t$$Alles in die erste Zeile einsetzen:$$x_1 - t + t = 0 \\ \implies x_1 =0$$Also ist $$\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ t \\ 0\\ t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix} t$$ und der Vektor \(\begin{pmatrix} 0& 1& 0& 1 \end{pmatrix}^T\) ist eine Basis der Lösungsmenge.

Gruß Werner

Comments

Ich brauche mal Hilfe bei eine weitere Aufgabe, weil irgendwie meine Lösung sich von der Musterlösung unterscheidet . Bitte um eine Erklärung...

Aufgabe: "Man finde eine Basis der Lösungsmenge des (homogenen) linearen Gleichungssystems x₁ + x₂ + x₃ = x₄ ; 2x₁ + x₂ + x₃ = 2x₄ ; x₁ = x₄ "

Meine Lösung:

\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 2& 1& 1& -2 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0\\0 \\ 0 \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 2& 1& 1& -2 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix}

Hier habe ich von der zweiten Zeile das 2-fache der dritten Zeile abgezogen:  

\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 1& 0& 0& -1 \end{pmatrix}  

Hier habe ich die erste Zeile von der dritten abgezogen:

\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 0& -1& -1& 1 \end{pmatrix}

Hier habe ich die zweite Zeile zu der dritten Zeile addiert:

\begin{pmatrix} 1 & 1& 1& -1 \\ 0& 1& 1& 0 \\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}

Somit entsteht in der vierten Zeile die Gleichung:

1x₄ = 0 -> Die Gleichung ist erfüllt, wenn x₄ = 0 ist.

Als beispiel habe ich x₃ = t gesetzt und so lautet die zweite Zeile:

x₂ + t - 0x₄ = 0 -> x₂ = -t

Und dann in die erste Zeile setzen:

x₁ - t + t = 0 -> x₁ = 0

Also:

\begin{pmatrix} x_1\\x_2 \\ x_3\\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -t \\ t\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix} t