quadratische Form in symmetrische Bilinearform

Question

Auf R3 sei bezüglich der Standardbasis e1, e2, e3 die quadratische Form Q gege-
ben durch Q(x) = 2x1^2 + 8x2^2 + x3^2 – 4x1x2.

(a) Bestimmen Sie die zugehörige symmetrische Bilinearform F, ihre Formmatrix G bzgl.
der Standardbasis und zeigen Sie, dass (R3, F) ein euklidischer Vektorraum ist.

Irgendwie weiß ich nicht so ganz was mit dem ersten Teil von a) gemeint ist

Also ich weiß wie die zugehörige Matrix aussieht (2,-2,0;-2,8,0;0,0,1) oder?

und ich weiß dass F(u, v) = 1/2[Q(u + v) − Q(u) − Q(v)]

aber setzte ich das jetzt einfach da ein? Also u, v in Q?

Answer 1

Ein euklid. Vektorraum ist einer mit Skalarprodukt.

Ein Skalarprodukt auf einem reellen Vektorraum ist eine nicht ausgeartete,
 symmetrische, positiv definite Bilinearform.

Die Matrix G  hast du ja.  Dann ist die Bilinearform

 F(u, v)  = u^T * G * v   jedenfalls symmetrisch

und die ist pos. definit genau dann, wenn G pos. def. ist.

und das ist genau dann der Fall, wenn alle Eigenwerte von

G pos. sind.

Dazu löst du    det ( G -x*E) = 0 und erhältst

x=1 oder x= 5+√13 oder  x= 5 - √13.

Also alle pos.

q.e.d.