Konvergenz und Divergenz bestimmen

Question

Aufgabe:

Überprüfe auf Konvergenz/Divergenz

a)

\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{a_n}, a_n = 2_n \) wenn n gerade, \( \frac{4n}{n+1} \) wenn n ungerade

b)

\(\lim\limits_{x \rightarrow \infty}{\frac{cos^2(x)}{ln(x)}} \)

c)
\(\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{\frac{n^4 + 5n^2 + ne^{-n}}{(2n^2-1)^n}} \)

Problem/Ansatz:

a) divergiert (Begründung?)

b) Da \( cos^2(x) \) immer zwischen 0 und 1 hin und her springt, divergiert es

c) konvergiert meiner Einschätzung nach, wegen \( e^{-n} \) geht gegen 0.

Wie handhabe ich es allgemein mit \( e^n,e^{-n} \) etc.?

Answer 1

a)

\(\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n}=\lim\limits_{n\to\infty}2^n \to \infty\)

\(\lim\limits_{n\to\infty}a_{2n+1}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{4n}{n+1}=4\)

Bedeutet insgesamt, dass  \(\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\to \infty\).

b)

Verwende das Einschließungskriterium \(-\frac{1}{\ln(x)}\leq \frac{\cos^2(x)}{\ln(x)}\leq \frac{1}{\ln(x)}\). Hierbei streben die äußeren Grenzen jeweils gegen \(0\) für \(x\to \infty\). Beachte, dass der Logarithmus Naturalis als Umkehrfunktion von der Exponentialfunktion streng monoton steigt.

c)

\(\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^4+5n^2+n\cdot e^{-n}}{(2n^2-1)^n}=0\)

Hier fehlt mir noch ein schlagfertiges Argument, aber im Prinzip ist es klar, dass \(n\cdot e^{-n}\to 0\) wenn \(n\to \infty\) (exponentielles Wachstum "schlägt" polynomielles Wachstum) und \(n^4+5n^2 \ll (2n^2-1)^n\) für genügend große \(n\).

Comments

Danke für Deine Antwort.

Zu a) Kleiner Tippfehler von mir, es sollte 2n (wenn gerade) sein. Aber das Ergebnis ist das gleiche, also \( \lim\limits_{n\to\infty} 2n \rightarrow \infty \)

zu b) \( \frac{cos^2(x)}{ln(x)} \) kann ja nicht < 0 werden. Oder im Allgemeinen hab ich die Erklärung noch nicht ganz verstanden, sorry

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b) nennt man auch "Satz von den zwei Polizisten", du hast selbst gesagt, dass der Kosinus zwischen \(-1\) und \(1\) osziliert, dadurch kannst du die Abschätzung \(-\frac{1}{\ln(x)}\leq \frac{\cos^2(x)}{\ln(x)}\leq \frac{1}{\ln(x)}\). Hierbei sind \(-\frac{1}{\ln(x)}\) und \(\frac{1}{\ln(x)}\) deine Polizisten, die versuchen \( \frac{\cos^2(x)}{\ln(x)}\) im Zaum zu halten. Hier mal als Bild die beiden Polizisten in typischem blau und \( \frac{\cos^2(x)}{\ln(x)}\) in grün:

Du siehst schon annährend, dass die sogenannte Amplitude des Kosinus immer kleiner wird (schlägt nicht so weit aus) und dieses Spiel wird bis ins Unermessliche weitergeführt bis wir dann letztendlich einen "infinitesimal" kleinen Abstand haben. Und da wir wissen, wie die "Polizisten" sich im Unendlichen verhalten, wissen wir auch, wie sich  \( \frac{\cos^2(x)}{\ln(x)}\) verhält!

Ich hoffe, dass dir diese etwas "spielerische Herleitung" etwas Intuition dafür gibt. Auf formaler Ebene lässt sich der Satz leicht beweisen.

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DIe Erklärung ist super, danke^^!

Ich nahm nur an, dass \( \frac{cos^2x}{lnx} \) zwischen 0 und 1 hin und her springt.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cos%5E2x%2Flnx

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Gerne!

\(\ln(x) \to \infty\), wenn \(x\to \infty\) und Kosinus osziliert zwischen \(-1\) und \(1\).  Insgesamt resultiert das in einem Streben zur \(0\) für \(x\to \infty\).