Folge / Konvergenz / Divergenz

Question

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Aufgabe 1 (4 Punkte) Entscheiden Sie für die durch
а) \( a_{n}=\frac{2 n^{3}+(-1)^{n} n}{n^{2}-3 n+1} \),
b) \( b_{n}=\sqrt{n^{2}+4 n}-n \)
gegebenen Főlgen \( \left(a_{n}\right) \) und \( \left(b_{n}\right) \) jeweils, ob sie konvergent, divergent, bestimmt divergent gegen \( -\infty \), bestimmt divergent gegen \( \infty \) oder unbestimmt divergent sind und begründen Sie Ihre Antwort.

Answer 1

\( a_{n}=\frac{2 n^{3}+(-1)^{n} n}{n^{2}-3 n+1} \) mit n² kürzen gibt

\( a_{n}=\frac{2 n+ \frac{(-1)^{n}}{n} }{1-\frac{3}{ n}+\frac{1}{ n^2}} \)

Zähler geht gegen +∞ Nenner gegen 1, also Folge

bestimmt divergent gegen \( \infty \).

\( b_{n}=\sqrt{n^{2}+4 n}-n \) mit \( \sqrt{n^{2}+4 n}+n \) erweitern gibt

\( \frac{(\sqrt{n^{2}+4 n}-n)(\sqrt{n^{2}+4 n}+n)}{\sqrt{n^{2}+4 n}+n }= \frac{n^{2}+4 n -n^2}{\sqrt{n^{2}+4 n}+n }= \frac{4 n}{  n\sqrt{1+\frac{4}{ n}}+n }\)

\( = \frac{4 n}{  n (\sqrt{1+\frac{4}{ n}}+1)} = \frac{4 }{  \sqrt{1+\frac{4}{ n}}+1}\)

Also Grenzwert \(\frac{4}{2} = 2 \)

Answer 2

a) mit n^3 kürzen:

(2+-(-1)/n^2)/(1/n- 3/n^3+1/n^3) =  (2+-0)/(0-0+0) = 2/0 = oo für n -> oo