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Es geht um die Definition der Konvergenz einer reellen Folge.

Diese lautet ja: ∀ε>0 ∃N € IN ∀n≥N : |a_n - a | < ε

Jetzt habe ich hier eine Folge (a_n)_n€IN = (n²+n)/(n). Ich bin mir sehr sicher, dass diese Folge bestimmt divergiert und ich möchte das auch zeigen. Hierfür habe ich die obere Definition verneint und ich erhielt:

∃ε>0∀N € IN∃n≥N: |a_n - a |≥ε

Meine Frage ist, wie zeige ich nun damit Divergenz?

Meine Idee war es einfach ein Epsilon auszuwählen, z.b ε = 1. Dann hätte ich | (n²+n)/(n) - a | = 1

Dann vereinfache ich:

| n + 1 - a | ≥ |N-a+1| = 1

Ich komme hier nicht weiter.

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Hallo

du machst es dir du schwer, an= (n^2+n)/n=n+1 zu jedem a in R gibt es ein n in N so dass für alle n>N gilt a_n>a  man wählt einfach N=[a]

Gruß lul

Avatar von 108 k 🚀
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Einfacher ist es wohl indirekt:

Angenommen an hätte den Grenzwert a. Dann gäbe es zu jedem ε>0

ein N∈ℕ mit der Eigenschaft n>N ==>  | an - a| <ε.

                     also | n+1-a | <ε #

Nach dem Axiom des Archimedes gibt es für jedes x∈ℝ ein N∈ℕ mit N > x

Also gibt es auch eines mit   N > a-1   + ε    . Also gilt auch

         für alle n>N                n > a-1     + ε

               ==>        n -a + 1     > ε   und wegen   n > a-1  ist   | n+1-a | =   n -a + 1

   ==>               | n+1-a | > ε   im Widerspruch zu #.  q.e.d.

Avatar von 289 k 🚀
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Ich kenne die Cauchyfolge etwas anders, denn der Wert , gegen den sie konvergiert, muss ja nicht bekannt sein.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge

Dann macht auch die Verneinung einen Sinn.

Denn wenn die Folge divergiert, was soll das a dann bedeuten.

Ich denke, der einfachste Weg ist , den Term für die Folge zu kürzen. Dann ist \(a_n= n+1\) damit ist für alle

\(n≠m \space |a_m-a_n|≥1>0,5= ε\)

Avatar von 11 k

Danke. Das stimmt. Der Grenzwert "a" sollte dabei beliebig sein.

"a" darf auch nicht beliebig sein, denn dann könnte ich ja alles zeigen. "a "muss wie ich beschrieb ein beliebiges Element der Folge sein, also ein a_m, das ist ein kleiner aber feiner Unterschied. a ist also nicht ein frei wählbaren Wert sondern für alle Elemente der Folge gilt, dass ihr Abstand immer größer ist, als das von mir gewählte ε=0,5

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