Wie zeige ich die Divergenz einer Folge, über die Definition der Konvergenz?

Question

Es geht um die Definition der Konvergenz einer reellen Folge.

Diese lautet ja: ∀ε>0 ∃N € IN ∀n≥N : |a_n - a | < ε

Jetzt habe ich hier eine Folge (a_n)_n€IN = (n²+n)/(n). Ich bin mir sehr sicher, dass diese Folge bestimmt divergiert und ich möchte das auch zeigen. Hierfür habe ich die obere Definition verneint und ich erhielt:

∃ε>0∀N € IN∃n≥N: |a_n - a |≥ε

Meine Frage ist, wie zeige ich nun damit Divergenz?

Meine Idee war es einfach ein Epsilon auszuwählen, z.b ε = 1. Dann hätte ich | (n²+n)/(n) - a | = 1

Dann vereinfache ich:

| n + 1 - a | ≥ |N-a+1| = 1

Ich komme hier nicht weiter.

Answer 1

Hallo

du machst es dir du schwer, an= (n^2+n)/n=n+1 zu jedem a in R gibt es ein n in N so dass für alle n>N gilt a_n>a  man wählt einfach N=[a]

Gruß lul

Answer 2

Einfacher ist es wohl indirekt:

Angenommen a_n hätte den Grenzwert a. Dann gäbe es zu jedem ε>0

ein N∈ℕ mit der Eigenschaft n>N ==>  | a_n - a| <ε.

                     also | n+1-a | <ε #

Nach dem Axiom des Archimedes gibt es für jedes x∈ℝ ein N∈ℕ mit N > x

Also gibt es auch eines mit   N > a-1   + ε    . Also gilt auch

         für alle n>N                n > a-1     + ε

               ==>        n -a + 1     > ε   und wegen   n > a-1  ist   | n+1-a | =   n -a + 1

   ==>               | n+1-a | > ε   im Widerspruch zu #.  q.e.d.

Answer 3

Ich kenne die Cauchyfolge etwas anders, denn der Wert , gegen den sie konvergiert, muss ja nicht bekannt sein.

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge

Dann macht auch die Verneinung einen Sinn.

Denn wenn die Folge divergiert, was soll das a dann bedeuten.

Ich denke, der einfachste Weg ist , den Term für die Folge zu kürzen. Dann ist \(a_n= n+1\) damit ist für alle

\(n≠m \space |a_m-a_n|≥1>0,5= ε\)

Comments

Danke. Das stimmt. Der Grenzwert "a" sollte dabei beliebig sein.

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"a" darf auch nicht beliebig sein, denn dann könnte ich ja alles zeigen. "a "muss wie ich beschrieb ein beliebiges Element der Folge sein, also ein a_m, das ist ein kleiner aber feiner Unterschied. a ist also nicht ein frei wählbaren Wert sondern für alle Elemente der Folge gilt, dass ihr Abstand immer größer ist, als das von mir gewählte ε=0,5