Konvergenz/Divergenz einer Folge zeigen

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie, ob die komplexe Folge
$\left(\cos \left(\frac{1}{2} \pi n\right)+i \sin \left(\frac{1}{2} \pi n\right)\right)_{n \in \mathbb{N}}$
konvergiert oder divergiert.

Problem/Ansatz: Ich würde sagen sich divergiert dass cos und sin je zwischen -1 und 1 oszillieren und deshalb auch dessen zusammensetzung oszilliert aber kann man das auch noch mathematischer zeigen?

Answer 1

Hallo

ich würde die vier vorkommenden Werte aufschreiben, und zeigen dass sie sich wiederholen, oder es als e^iπ/2 schreiben und die 4 Pkt auf dem Einheitskreis  angeben. da sieht man noch besser dass es sich nach 4 Schritten wiederholt.

lul

Comments

Okay, aber es war eine Klausuraufgabe und unsere dozentin meinte, dass ihr die werte jetzt nicht reichen würden für die Antwort

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Hallo

das e^n*iπ/2  auf dem Einheitskreis die Winkel π/, π,3π/2 2π annimmt und das immer wieder , ist ja was anderes als einfach i, -1,-i,1 hinzuschreiben. dass

e ^ir=e ^ir+2πi sollte man vielleicht dazuschreiben zur Begründung

Gruß lul

Answer 2

Ist $n=4k,\; k\in \mathbb{N^*}$, so ist $a_n=i$.

Ist $n=4k+1,\; k\in \mathbb{N^*}$, so ist $a_n=1$.

$(a_n)$ hat also mehr als einen Häufungswert und ist

deshalb divergent.

Oder anders ausgedrückt: die Folge hat mindestens zwei

Teilfolgen mit verschiedenen Grenzwerten und

ist daher divergent; denn bei einer konvergenten Folge hat

jede Teilfolge denselben Grenzwert,.