Konvergenz / Divergenz & Wurzelkriterium

Question

Hallo, die Aufgabe lautet:

Die Aufgabe ist, herauszufinden für welche Werte \( t \in \mathbb{R}  \)
die folgende Reihe konvergiert und was wäre, wenn \( t \in \mathbb{R_{>0}}  \)?

\( \sum \limits_{}^{}(\frac{3n^2-1}{2n^2-1})^n t^n \)

Problem/Ansatz:

Mit dem Wurzelkriterium hat mein Professor bereits berechnet, dass das Ergebnis \( \frac{3}{2} \) ist. Jedoch hat er dann (bewusst) geschrieben, dass \( t \in (-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}) \) konvergiert - aber wieso?

Und den zweiten Teil der Aufgabe, was gewesen wäre, wenn \( t \in \mathbb{R_{>0}}  \) hat er nicht mehr beantwortet und leider komme ich auch hier nicht auf die Lösung.

Danke im Voraus für's helfen! :)

Answer 1

Mit dem Ergebnis hat er den Konvergenzradius \(r\) berechnet. Dann konvergiert die Reihe, wenn \( |t|<r\) gilt. Oder anders gesagt, wenn \(t\in (-r;r)\).

Wenn \(t\in \mathbb{R}_{>0}\), dann fallen natürlich die negativen Werte raus.